Mathematische notatie van de Triniteit

[broer konijn 0]

Ik spreek toch via jou met heel de wiskunde-wereld?!

Dit komt ook nogal spottend over broer konijn...

Dat zou alleen spottend zijn als het niet waar is, en de spot is dan dat het maar een vermeend steunen is op heel de wiskundewereld.

Maar dat is niet waar. De waarheid is dat Black Mathematician en Nunc beiden een standpunt verdedigen dat inderdaad rugdekking krijgt van heel de wiskundewereld. Mijn beroep op de logica vraagt dus ook een bewuste ontkoppeling met wat heel de wiskundewereld leert. Dat vereist een prikkeling en een uitdaging om niet te gaan rusten in wat de wiskundeboekjes voorschrijven, maar om een authentieke eigen beoordeling te gaan maken.

Ook spot past in het prikkelen, maar dat is dan geen spot in disrespect, maar een spot die redelijkerwijs tegelijk zelfspot is, aangezien aantoonbaar de wetenschap niet mij, maar mijn tegensprekers steunt.

Maar als ik teruglees, zie ik niet het spottende in wat jij spottend vond.

Wel is er de vergelijking met de jehovagetuige die prikkelender is dan nodig, maar in mijn perceptie is dat niet iets specifieks maar een algemeen aspect waar alle mensen mee te maken hebben (westerse culturen meer dan Aziatische). Het is de westerse mentaliteit dat de grenzen van ons weten geen open grenzen zijn, maar hoog opgetrokken muren die wijzelf hebben gebouwd om zo onze eigen wereld beheersbaar en compleet te maken. Maar daardoor missen wij nog wel eens de realiteit die zo dichtbij is, maar net aan de andere kant van de muur ligt. Onbereikbaar. Voel je hier niet hoezeer mijn woorden evenzeer spot over mijzelf afroepen?

[Nunc 0]

Goed, ik ben er wel klaar mee. Niet vanwege eventuele ad hominems, maar omdat ik het idee heb dat we geen stap opschieten. Allebei niet.

Ik begrijp je sentiment. Het moet ook gezegd zijn dat je bij je eerdere reacties heel zuiver je focus op het onderwerp hebt gehouden, terwijl ik echt wel aanleiding gaf om er van af te wijken. Dan verdien je ook niet dat ik van het onderwerp afwijk.

Laat ik toch even nog wat kernpunten benoemen in de rebound, ad rem, tene quod bene:

@ Rekenregels:

Als jij stelt dat de basale rekenregels overboord kunnen dan laat je het getallensysteem los.In die context is 1 + 1 niet gelijk aan 2' date=' en in die context is 1 gelijk aan 0.[/quote'] Nee hoor. Rekenregels verschillen per verzameling getallen waar je mee werkt.

Bijvoorbeeld als we de verzameling van natuurlijke getallen {1,2,3,4,...} bekijken is aftrekken niet meer geldig, want 2-4 is een negatief getal en is dus geen natuurlijk getal.

Ik volg je niet. Ja, 2-4 =-2 . En -2 is een negatief getal en geen natuurlijk getal. Dus -2 is geen element van de verzameling natuurlijke getallen. Dus? Waarom zou je dan niet kunnen aftrekken?

Die verzameling verminderen met 4 elementen is mogelijk dat wordt bijvoorbeeld: {5,6,7,8,...}

Aftrekken is wel gedefinieerd op de verzameling van gehele getallen {... -3,-2,-1,0,1,2,3,...}.

Wat bedoel je met “aftrekken op een verzamelingâ€, ik neem aan het aantal elementen verminderen met 4. En dat is mogelijk ongeacht of de reeks wel of niet negatief is….

@ grootte van een verzameling:

De grap van het begrip oneindig is dat het geen natuurlijk of geheel getal is. De rekenregels zijn dus iets anders dan met gehele getallen. Voor de gehele getallen blijven de rekenregels gewoon hetzelfde. Dus 1+1 is nog steeds 2.

Oneindig is überhaupt geen getal, het is een concept.

Het is net zo min een getal als dat ‘veel’ een getal zou zijn.

En als het geen getal is kun je er ook niet een getal bij optellen of er de grootte van bepalen.

Fuitmand + 1 kan niet. En ‘onbekend’ + 1 is nog steeds iets onbepaald . Of ‘veel’ + 1 is nog steeds ‘veel’.

Maar aangezien je meent dat in die context de rekenregels niet meer gelden ( c.q. ‘iets anders zijn’), dan kan als consequentie in dat verband ook geen sprake meer zijn van bepaling van de grootte ( c.q. bepaling van grootte is dan ‘iets anders’).

Dus de consequentie van je gebruikte definitie is dat je dan niet de grootte kunt bepalen of vergelijken. ( of net zo zinnig als het vergelijken de grootte van 2 ‘erg grote’ verzamelingen, of 2 verzamelingen van ‘onbekende grootte’).

@ Correspondentie-(koppel)-bepaalde-grootte :

Stelling: Als je alle elementen uit verzameling A in een een-op-een correspondentie kunt koppelen aan alle elementen van verzameling B uitgezonderd 1' date='

DAN is de verzameling A ongelijk groot aan verzameling B.

Jij bestrijdt dus dat deze stelling waar is??

[/quote']

Als je met "DAN is de verzameling A ongelijk groot aan verzameling B" bedoelt dat er geen 1-1 correspondentie bestaat tussen A en B dan zeg ik inderdaad dat die stelling niet waar is.

Om precies te zijn bedoel ik datgene wat ik schreef:

Als je alle elementen uit verzameling A in een een-op-een correspondentie kunt koppelen aan alle elementen van verzameling B uitgezonderd 1,

DAN is de verzameling A ongelijk groot aan verzameling B.

En jij beweert dat deze stelling niet waar is.

Omdat plaatjes meer zeggen dan woorden:

Dus alle elementen uit verzameling A zijn in een een-op-een correspondentie te koppelen aan alle elementen van verzameling B uitgezonderd 1.

In het plaatje zijn er 4 koppels getekend maar dat kunnen er ook veel meer zijn (aantal is onbepaald), maar altijd in koppels! ( want we begonnen met 2 gelijke verzamelingen waarbij in 1 verzameling er eentje was afgedaan of bijgedaan)

Maar nu stel jij dat het mogelijk is om een andere 1 op 1 koppeling mogelijk is maar dan zonder dat er 1 overblijft. En dat daarom verzameling A mogelijk even groot kan zijn als verzameling B.

Als je een andere koppeling zou proberen, kan dat alleen maar door een bestaande koppeling eerst te ontkoppelen en dan kun je de losse ( in het plaatje nr. 5) weliswaar koppelen, maar dan blijft er door de ontkoppelde bestaande koppeling per definitie een andere los element over die was ontkoppeld, en derhalve nog niet weer gekoppeld is.

Hergroepering van de koppels lost het probleem van het losse element dus niet op:

dat probleem blijft bestaan.

De verzamelingen blijven ongelijk groot.

En dit is een sluitende bewering.

nee, het is een sluitende redenering als je het hebt over eindige groottes. Je moet goed en secuur lezen wat TBM beweert: "Als je alle elementen uit verzameling A in een een-op-een correspondentie kunt koppelen aan alle elementen van verzameling B uitgezonderd 1,

DAN is de verzameling A ongelijk groot aan verzameling B.".

Dus: als het mogelijk is om een element weg te halen en dan een (andere) 1-op-1 verbinding te leggen die alles afdekt, dan zijn ze even groot.

Wat jij hebt laten zien, is dat er voorbeelden zijn van verzamelingen waarbij het "als" gedeelte niet waar is, dat je dan ook niet voldoet aan het "dan" gedeelte. Maar ja, daarom was het ook een "als --> dan" bewering. Maar je vergeet, dat je ofwel zult moeten aantonen dat het "als" gedeelte simpelweg niet voorkomt (nou ja, "moet" want als de "Als" conditie gewoon nooit voorkomt, dan maakt het niet uit of "als --> dan" waar is) of dat "als" het wel voorkomt, dat dan toch de "dan" niet zou gelden (en dat laatste zul je wel moeten doen om een "als --> dan" te ontkrachten).

Maar, wat gebeurt er als we een oneindige verzameling (bv. alle getallen 1,2,3,4,5,6...) hebben en we de eerste weghalen? Het interessante is, dat je nog steeds een 1-op-1 relatie kunt maken:

1 --> 2

2 --> 3

3 --> 4

etc. tot in het oneindige

En ja, dat kan altijd. Je kunt in z'n algemeenheid (zonder eerst te hoeven tellen of een getal te bereiken) altijd zeggen dat er voor elk getal een "opvolger" is, dus voor elke willekeurige N kan ik N --> N + 1 doen. En dus kan ik van 1,2,3,4,5, .... een 1-op-1 relatie leggen met 2,3,4,5,.... als het een oneindige verzameling is. Wat jij in je plaatje laat zien, is dat dit bij een eindige verzameling niet lukt omdat je er eentje overhoudt (of tekort komt). Maar bij oneindig kan je altijd doorgaan, kom je nooit bij de laatste (er is geen laatste) en dus ook geen element dat overblijft of wat je te kort komt.

@ Bewijsvoering:

Dan over je tegen bewijs.

Als tegenvoorbeeld geef ik A= natuurlijke getallen={1,2,3,...}

B = niet negatieve gehele getallen = {0,1,2,3,...}

Haal je 0 weg uit B (wat ik noteer als B-{0} ) dan is het duidelijk dat er een 1-1 correspondentie is tussen A en B-{0}, namelijk 1 in A correspondeert met 1 in B-{0}, 2 in A correspondeert met 2 in B-{0} etc.

Voegen we 0 weer toe, dan is er nog steeds een 1-1 correspondentie te vinden tussen A en B (die wel anders is dan die tussen A en B-{0} ) namelijk 1 in A correspondeert met 0 in B, 2 in A met 1 in B, 3 in A met 2 in B etc. In het algemeen: n in A correspondeert met n-1 in B.

A= natuurlijke getallen={1,2,3,...}

B = niet negatieve gehele getallen = {0,1,2,3,...}

Jij stelt dat A en B gelijk groot omdat ze te matchen zijn via n -> n-1

Dus kijken we naar de grootte dan stel je:

A + 1 = B

En ook: A = B, dus A + 0 = B

Dus dan heb je 2 vergelijkingen die jij allebei tegelijkertijd als waar beschouwt:

A + 1 = B

A + 0 = B

"A" of "B" is de naam van een verzameling, bv. "alle koffiezetapparaten", niet een normaal getal.

Maar ik zeg dat onwaar is om te stellen dat A en B gelijk groot zijn.

A en B hebben helemaal geen grootte dus kun je ze ook niet vergelijken.

Bewijs: Als A en B wel een grootte zou hebben dan zouden ze ieder of een even aantal elementen hebben of een oneven aantal.

ALS A en B ieder een even aantal elementen bevat dan zou A +1 een oneven aantal opleveren. En een oneven aantal is nooit gelijk aan een even aantal. Dus A ongelijk aan B.

Evenzo ALS A en B ieder een oneven aantal elementen bevat dan zou A +1 een even aantal opleveren. En een even aantal is nooit gelijk aan een oneven aantal. Dus A ongelijk aan B.

het ging om oneindig grote verzamelingen. Oneindig is sowieso niet een gewoon getal (want niet even en niet oneven).

@ waar hebben we het over - inzichtelijkheid:

En slechts ter illustratie om inzichtelijk te maken hoe een koppeling gebruik maakt van onderliggende reeksen ( niet als bewijs! ) : Zie het onderstaande plaatje.

De bovenste horizontale lijn is langer dan het onderstaande, toch?

Want het blauwe gedeelte is gelijk met onderliggende lijn want die is met een reeks te koppelen. Maar de bovenste lijn heeft nog iets extra’s buiten de volgens de koppeling geldende correspondentie-gelijkheid.

Logisch kun je inzichtelijk maken dat een koppeling atijd te maken is. Maar dat is geen rust waarin wij ons als gearriveerd mogen beschouwen, want daarmee stopt de wiskundige logica over het aantal elementen niet: er is nog een weg te gaan.

Want evenzo logisch is in te zien dat een verandering in het aantal elementen van een verzameling leidt tot een verschuiving, waardoor er structureel een tekort/overschot ontstaat, waardoor alle bestaande koppels, ontkoppeld moeten worden en beslag moeten leggen op een nog niet benoemd of gedefinieerd, naastgelegen element.

Weer dezelfde fout: je denkt dat "oneindig" hetzelfde is als "gewoon heel erg veel". Daarom gaat je betoog mis. Het enige dat je - zonder dat je het wilde - hebt bewezen, is dat al die lijnen evenveel (oneindig veel!) punten bevatten. Maar ja, een lijn is op zich al een abstractie, want onze wereld bestaat uit allerlei kleine deeltjes, maar niet oneindig klein. Maar de intuïtie waarop je je baseert, gaat uit van eindige aantallen. Dat zie je als je het hebt over "tekort/overschot". Je hebt geen tekort of overschot als je het over (dezelfde klasse van) oneindig hebt. Dat is het vreemde van oneindig, maar dat is wel wat het wiskundig is. Dat die wiskunde niet overeen komt (voor zover ik weet) met iets fysieks in ons universum, en dat onze op de fysica gebaseerde intuïtie niet 1-op-1 overzetbaar is naar iets abstracts als "oneindig", verbaast me niks. Je mikst intuïtie over de fysische wereld met abstacties, en daardoor is je "Want evenzo logisch is in te zien dat een verandering in het aantal elementen van een verzameling leidt tot een verschuiving, waardoor er structureel een tekort/overschot ontstaat..." simpelweg niet logisch.

[The Black Mathematician 82]

Broer Konijn, ik heb je bericht heel vluchtig gelezen, bedankt voor de inhoudelijke reactie. Momenteel even druk, maar je hebt een antwoord te goed (Nuncs antwoord nog niet gelezen).

[Annatar 0]

Ik spreek toch via jou met heel de wiskunde-wereld?!

Dit komt ook nogal spottend over broer konijn...

En dat komt van de expert op dat gebied...

[Credible 0]

Admod note:
Op de man gespeelde post verwijderd.

[broer konijn 0]

nee, het is een sluitende redenering als je het hebt over eindige groottes.

(…)Wat jij in je plaatje laat zien, is dat dit bij een eindige verzameling niet lukt omdat je er eentje overhoudt (of tekort komt). Maar bij oneindig kan je altijd doorgaan, kom je nooit bij de laatste (er is geen laatste) en dus ook geen element dat overblijft of wat je te kort komt.

Nee het plaatje gaat niet uitsluitend over eindige verzamelingen!

Zie maar het vetgedrukte in onderstaande commentaar die ik bij het plaatje gaf:

“Dus alle elementen uit verzameling A zijn in een een-op-een correspondentie te koppelen aan alle elementen van verzameling B uitgezonderd 1.

In het plaatje zijn er 4 koppels getekend maar dat kunnen er ook veel meer zijn (aantal is onbepaald [edit]oneindig[/u]’ ! ), maar altijd in koppels! ( want we begonnen met 2 gelijke verzamelingen waarbij in 1 verzameling er eentje was afgedaan of bijgedaan)â€

De stelling

Je moet goed en secuur lezen wat TBM beweert: "Als je alle elementen uit verzameling A in een een-op-een correspondentie kunt koppelen aan alle elementen van verzameling B uitgezonderd 1,

DAN is de verzameling A ongelijk groot aan verzameling B.".

Ja, ik heb goed en secuur gelezen (en ik was het die deze stelling formuleerde en niet The Black Mathematician).

Dus:

Als je alle elementen uit verzameling A in een een-op-een correspondentie kunt koppelen aan alle elementen van verzameling B uitgezonderd 1,

DAN is de verzameling A ongelijk groot aan verzameling B

Ik zei dat deze stelling waar is. The Black Mathematician impliceerde dat deze stelling niet waar is.

En jij?

Dus: als het mogelijk is om een element weg te halen en dan een (andere) 1-op-1 verbinding te leggen die alles afdekt, dan zijn ze even groot.

Wat jij hebt laten zien, is dat er voorbeelden zijn van verzamelingen waarbij het "als" gedeelte niet waar is, dat je dan ook niet voldoet aan het "dan" gedeelte. Maar ja, daarom was het ook een "als --> dan" bewering. Maar je vergeet, dat je ofwel zult moeten aantonen dat het "als" gedeelte simpelweg niet voorkomt of dat "als" het wel voorkomt, dat dan toch de "dan" niet zou.

Nee, wat ik heb laten zien ging veel verder.

We spreken over 2 verzamelingen waarvan bekend is dat we alles, uitgezonderd 1, met elkaar kunnen afdekken met een 1-op-1 verbinding. Dus er blijft een niet-gekoppeld of ‘los’ element over.

Nu stel jij voor om een andere koppeling te gaan proberen op exact dezelfde verzameling, en dan zodanig dat die ene losse element ook gekoppeld gaat worden.

Nu gaan we dit proces uitvoeren door van deze uitgangssituatie over te gaan naar andere koppelingen. We kunnen dit stap voor stap doen want elke andere koppeling is te bereiken door telkens dezelfde basis-stap te herhalen.

Basis-stap:

Deze basis-stap is namelijk door een bestaande koppeling tussen A en B te ontkoppelen en dan deze te koppelen met een ander element. ( dus het element uit A te koppelen aan een ander element uit B die nog niet gekoppeld was, of een element uit B te koppelen aan een ander element uit A die nog niet gekoppeld was. Of door de koppeling van 2 koppels onderling te switchen). Maar na elke basis-stap blijft er nog steeds dat ene losse element aanwezig. Hooguit is nu alleen een ander element nu het losse element.

En dit is de reden dat ik zei dat hergroepering van de koppels het probleem van het losse element dus niet oplost: dat probleem blijft bestaan.

De verzamelingen blijven ongelijk groot.

En daarom is dit is een sluitende bewering.

Je mag dit proces ook als volgt omschrijven:

Er is een honeymoon dansfeest in stad en een oneindig aantal man-vrouw koppels komen er op af.

Dus alleen maar koppels van mannen en vrouwen. Dus logischerwijs zijn er evenveel mannen als vrouwen. Vervolgens kom jij op dat dansfeest als enige zonder partner.

Zie je de gelijkenis met onze verzameling A en B die die 1-op-1 verbonden zijn uitgezonderd 1 ?

Maar nu komen de beweringen. Ik zeg: er zijn nu meer mannen dan vrouwen.

Jij zegt, nee er zijn nog steeds evenveel mannen en vrouwen.

Jij beweert dat als iedereen gaat dansen, er voor iedereen een man-vrouw koppel is.

Ik zeg: doe je best, schuif maar met de koppels, maar als je wordt gekoppeld aan een vrouw dan verschuif je alleen het probleem want haar man is dan partnerloos. En die man kun je ook wel weer koppelen aan een andere vrouw, maar daarmee ontkoppel je eerst haar van haar bestaande danspartner, en dan is die andere partner weer muurbloempje. Dus hoe je ook schuift (ander koppels maakt), er blijft altijd iemand zonder partner.

Terug naar de stelling:

Als je alle elementen uit verzameling A in een een-op-een correspondentie kunt koppelen aan alle elementen van verzameling B uitgezonderd 1,

DAN is de verzameling A ongelijk groot aan verzameling B

Ik had net de stelling bewezen. Maar je mag het ook principiëler zien.

Je kunt de stelling ook als axioma hanteren ( met evenveel recht als het axioma dat als alles gekoppeld is de verzamelingen even groot zijn). Dus als je met de ene de andere wil ontkrachten kun je kiezen. Want waarom zou dan de ene de voorkeur hebben boven de andere?

@ Bewijsvoering:

Dan over het tegen bewijs van The Black Mathematician.

A= natuurlijke getallen={1,2,3,...}

B = niet negatieve gehele getallen = {0,1,2,3,...}

Hij stelt dat A en B gelijk groot omdat ze te matchen zijn via n -> n-1

Dus kijken we naar de grootte dan stelt hij:

A + 1 = B

En ook: A = B, dus A + 0 = B

Dus dan heb je 2 vergelijkingen die hij allebei tegelijkertijd als waar beschouwt:

A + 1 = B

A + 0 = B

"A" of "B" is de naam van een verzameling, bv. "alle koffiezetapparaten", niet een normaal getal

Dat verandert niets aan de zaak, maar zoals je wenst:

a = de grootte van verzameling A

b = de grootte van verzameling B

dan stelt hij:

a + 1 = b

En ook: a = b, dus a + 0 = b

Dus dan heb je 2 vergelijkingen die hij allebei tegelijkertijd als waar beschouwt:

a + 1 = b

a + 0 = b

Maar ik zeg dat onwaar is om te stellen dat A en B gelijk groot zijn.

A en B hebben helemaal geen grootte dus kun je ze ook niet vergelijken.

Bewijs: Als A en B wel een grootte zou hebben dan zouden ze ieder of een even aantal elementen hebben of een oneven aantal.

ALS A en B ieder een even aantal elementen bevat dan zou A +1 een oneven aantal opleveren. En een oneven aantal is nooit gelijk aan een even aantal. Dus A ongelijk aan B.

Evenzo ALS A en B ieder een oneven aantal elementen bevat dan zou A +1 een even aantal opleveren. En een even aantal is nooit gelijk aan een oneven aantal. Dus A ongelijk aan B.

het ging om oneindig grote verzamelingen. Oneindig is sowieso niet een gewoon getal (want niet even en niet oneven).

Nu consequent zijn. Ik heb geen speciale rekenregels gehanteerd. Ik heb nergens gesproken van een verzameling die oneindig groot moet zijn. Integendeel ik heb steeds vermeden om een onderscheid te maken en in algemene termen gesproken over verzamelingen. Wat jij oneindig noemt is bij mij gewoon wat verder weg dan de dichtbije getallen. Ik reken dus met alle wiskunde en logica in het begin' date=' dat moet doorwerken in het eind.

Maar jij zegt hier nu weer dat oneindig “niet een gewoon getal isâ€. Vind je nu zelf echt niet dat je in wezen oneindig als een “ bijzonder getal†beschouwt? Want je rekent ermee dat oneindig grote verzamelingen een grootte en een gelijkheid hebben. Dat geeft rekenregels die ongelijkheden gelijk maken. Maar de wiskunde en logica aan het begin van diezelfde reeks zet je met jouw [i']rekenen met oneindig buiten werking, en verklaar je niet van toepassing. Ja, zeg je dan: voor oneindige reeksen gelden andere regels. Maar dat heb ik nooit gezegd. Ik zeg dat de wiskunde en logica doorwerkt, en dat de rekentruc met koppels een oneigenlijke truc is om de wiskunde en logica buiten spel te zetten en eigenaardige oneindigheidsregels te kunnen toepassen. Ik vind dus eerlijk gezegd dat je hier zelf hebt aangetoond dat je wel degelijk rekent met oneindigheid als een bijzonder getal.

Oneindig is sowieso niet een gewoon getal (want niet even en niet oneven).

Nee; wees consequent: niet een getal, dus ook niet een ongewoon getal.

Maar helemaal geen getal.

Consequentie 1: Een oneindige reeks heeft in het algemeen géén grootte die gelijk is aan een andere oneindige reeks. Want grootte kan niet; omdat “oneindig†geen getalswaarde heeft.

Consequentie 2: Wat wiskundige of logisch aan het begin wordt gesleuteld, werkt door tot in het oneindige, en daarom moet de versleuteling ook aan het einde gerekend worden als factor van betekenis. Hoe je dat formuleert om niet ongeldige optellingen te maken is mij om het even. Want dat wat geen bepaalbare grootte heeft kan wel worden verminderd of vermeerderd. En weet je wel waarom? Omdat die oneindigheid een heel concrete en meetbare eindigheid heeft aan de andere kant van de reeks. Er is dus een exact bepaalbaar vertrekpunt. Het totaal is onbepaalbaar. Maar het totaalbeeld is wel veranderd.

Consequentie 3: Die mooie koppels die bewijzen dat twee verzamelingen even groot zijn, zijn niet meer dan een paradox. Doordat de tweede verzameling verderop ligt op de onderliggende getallenreeks of grotere stappen maakt, lijkt er een gelijkheid in ongelijkheden te zijn bepaald. Maar dat is niet meer dan een paradox omdat het relationele verband niets anders is dan de eerste reeks opnieuw geformuleerd op de wijze van een tweede reeks.

het ging om oneindig grote verzamelingen.

Oneindige verzamelingen hebben geen grootte.

..(want niet even en niet oneven)

Je zegt het juist: Inderdaad; er is geen grootte te bepalen.

Als Verzameling A wel een grootte zou hebben dan zou het of een even aantal elementen hebben of een oneven aantal. Jij zegt dat de grootte niet even is en ook niet oneven.

Maar dan betekent dit dat ze ook geen grootte hebben en dus ook niet aan elkaar zijn gelijk te stellen.

Foutief versus filosofief

Weer dezelfde fout: je denkt dat "oneindig" hetzelfde is als "gewoon heel erg veel".

Precies. Maar het is niet mijn fout, maar eerder mijn verdienstelijk consequent omgaan met de realiteit dat oneindigheid geen hocuspocus is. Maar een begrip dat zich manifesteert in de wiskunde. Ik ken daarom betekenis toe aan het onmiskenbare feit dat oneindig niet eindigt. En als het niet eindigt, dan is het gewoon een verlengde van de bekende reeks. Dus gewoon heel erg veel. Maar zonder bepaalbaar einde.

Maar jij maakt daar een filosofische stap door aan oneindigheid een nieuwe dimensie toe te kennen waarbinnen de wiskunde verbuigt en de logica hapert en ongelijkheden gelijk worden. En de filosofische sleutel is ten eerste toestaan dat er een categorie oneindigheid is die een eigen onlogische en onwiskundige behandeling krijgt, en ten tweede dat je een relationeel verband aanbrengt op een reeks die per definitie toch langer/meer is dan de relatie aangeeft. En het evidente benodigd hebben van dat meerdere in de reeks binnen je relationeel verband, dat erken je, maar dat zet je niet op een spoor of een zicht dat dus kennelijk het relationele aspect niet zo volledig de reeks weergaf als je dacht. Het is slechts een patroon dat voortschrijdt over de reeks, zonder deze ooit definitief vast te kunnen leggen. Het patroon ligt wel vast in zijn relatie, maar de reeks waarover dat patroon voortschrijdt niet. Die reeks is altijd langer. Ik verwijs hiervoor even naar het voorbeeld waarbij we niet met koppels van twee, maar met koppels van 1 met 72 werken.

Stel, ik ga nu even met jou mee en we beschouwen niet de oneindigheid, maar de oneindigheid volgens jou relationele benadering :

Deze tekening geeft een relationeel verband tussen twee verzamelingen.

Het bovenste staat voor de natuurlijke getallen n en het onderste voor het relationele verband (bijvoorbeeld 2n). De verzamelingen zijn beide oneindig groot.

Neem nu zoals jij ook steeds hebt gedaan aan het begin iets weg van de eerste lijn of van de tweede lijn (je moet kiezen). Dan kun je meetkundig zien dat je daadwerkelijk weliswaar nog steeds een oneindigheid hebt om je relatie te leggen, maar dat je gewoon een stukje mist. De tekening gaat zichtbaar haperen. De relatie wordt zichtbaar verbroken.

Die verbreking kun je niet herstellen. Wat je hebt weggenomen komt niet terug. Maar wat je wel kunt doen is tot in het oneindige nieuwe koppels maken. Maar het verbrokene blijft zichtbaar een kink in de kabel.

Dat zichtbare verbreken geeft een inzichtelijke conclusie:

De waarde van de relatie blijft weliswaar gelijk (binnen jouw relationeel verband);

MAAAR, de verschijning verandert compleet. En dat mag je niet vergeten. Als je vergeet dat je de verschijning verandert, dan maak je met oneindigheid grote denkfouten.

Ik geef een laatste voorbeeldje als uitsmijter hoe het dan gaat warrelen:

x = 0,99999(…)

10x = 9,99999(…)

10x - x = 9x

9x = 9,99999(…) - 0,99999(…)

9x = 9

x = 1

Wat is de fout: de getalswaarde is 1, maar de verschijning is compleet anders. Maar we zien het echt niet. Nee; maar we zien het wél. Als we maar willen kijken en ons het limietproces bewust zijn dat in elke oneindigheid aan de orde komt.

Het voorbeeld vraagt inlevingsvermogen omdat de wiskunde in onze oneindigheidsdiscussie eerder buitengesloten wordt dan toegepast. Om dan via gelijkheidsbepaling weer ingevoerd te worden. Maakt niet uit. Het bewijst in ieder geval dat je bij oneindigheden de logica niet kunt loslaten, maar juist extra goed moet vasthouden, Anders ga je zweven. Het proces van het oneindige naderen moet je je bewust zijn en in termen van een limietproces over nadenken. En de overeenkomst is in beide gevallen dat oneindigheid zo slecht voor te stellen is dat we gemakshalve maar gelijkheden zien waarvan we logisch echt wel zeker weten dat die gelijkheden ergens toch echt iets hebben gemist..

Ik wijd alweer uit, sorry. Terug. We moeten één stap terug, naar ons bewijs. Laten we eerst dat boven water krijgen en ons pas daarna verdiepen in dit hoofdstukje filosofie versus wiskunde.

[MysticNetherlands 298]

Ik zou zeggen heren, huur een voice-over acteur (het liefs met een diepe en monotone stem), lata hem de laatste zoveel posts voorlezen, neem het op en geef de CD uit, instant hit voor t bestrijden van slapeloosheid!

[The Black Mathematician 82]

Zoals beloofd.

@ Rekenregels:

Aftrekken is wel gedefinieerd op de verzameling van gehele getallen {... -3,-2,-1,0,1,2,3,...}.

Wat bedoel je met “aftrekken op een verzamelingâ€, ik neem aan het aantal elementen verminderen met 4. En dat is mogelijk ongeacht of de reeks wel of niet negatief is….

Met aftrekken bedoel ik: je neemt twee elementen uit de verzameling (bijvoorbeeld -1 en 2) en je neemt het verschil: -1-2=-3. Dat moet in dezelfde verzameling zitten wil de operatie aftrekken goed gedefiniëerd zijn. Dus de gebruikelijke aftrekoperatie zoals je op de basisschool hebt geleerd. Ik snap de verwarring, want we hebben het ook over aftrekken van verzamelingen gehad (dus je neemt een verzameling A en een deelverzameling B van A, dan kan je kijken naar de "verschilverzameling" A-B van alle elementen van A die niet in B zitten. Er is dus verschil tussen de aftrekoperatie op een verzameling (dus basisschoolaftrekken) en de aftrekoperatie van verzamelingen (alle elementen van een deelverzameling eruit gooien). In dit geval bedoelde ik op.

Als jij stelt dat de basale rekenregels overboord kunnen dan laat je het getallensysteem los.In die context is 1 + 1 niet gelijk aan 2' date=' en in die context is 1 gelijk aan 0.[/quote'] Nee hoor. Rekenregels verschillen per verzameling getallen waar je mee werkt.

Bijvoorbeeld als we de verzameling van natuurlijke getallen {1,2,3,4,...} bekijken is aftrekken niet meer geldig, want 2-4 is een negatief getal en is dus geen natuurlijk getal.

Ik volg je niet. Ja, 2-4 =-2 . En -2 is een negatief getal en geen natuurlijk getal. Dus -2 is geen element van de verzameling natuurlijke getallen. Dus? Waarom zou je dan niet kunnen aftrekken?

Die verzameling verminderen met 4 elementen is mogelijk dat wordt bijvoorbeeld: {5,6,7,8,...}

Als je een functie wiskundig netjes wilt definiëren, dan moet je de input- en de outputverzameling (wiskundige terminologie: domein respectievelijk codomein) aangeven. Een operatie als optellen, aftrekken, vermenigvuldigen etc. is een functie waarbij de inputverzameling dezelfde is als de outputverzameling. Als je voor optellen als input- en outputverzameling de natuurlijke getallen neemt, gaat alles goed. Een natuurlijk getal plus een natuurlijk getal is een natuurlijk getal. Maar voor aftrekken gaat het mis, de operatie aftrekken is niet gedefiniëerd op natuurlijke getallen en je zult over moeten stappen naar gehele getallen, waar de negatieve getallen ook meedoen. Om dezelfde reden zul je de breukenverzameling moeten gebruiken als je de delingsoperatie goed wilt definiëren. Om dezelfde reden zijn de complexe getallen ingevoerd om ook de wortel van negatieve getallen te kunnen nemen.

Punt is dat rekenregels verschillen per verzameling waarmee je werkt. Op het moment dat je naar kardinaalgetallen gaat kijken, dat zijn de getallen waarmee je de grootte van verzamelingen volgens de 1-1 correspondentiedefinitie aangeeft, dan zijn de rekenregels daarvoor ook iets anders. De kardinaalgetallen bevatten de natuurlijke getallen (maar ook veel meer andere elementen). Op het moment dat je met twee kardinaalgetallen werkt die ook natuurlijk zijn, gelden de gewone rekenregels. Maar zodra één van de kardinaalgetallen niet langer een natuurlijk getal is, gelden er iets andere regels.

@ Correspondentie-(koppel)-bepaalde-grootte :

Stelling: Als je alle elementen uit verzameling A in een een-op-een correspondentie kunt koppelen aan alle elementen van verzameling B uitgezonderd 1' date='

DAN is de verzameling A ongelijk groot aan verzameling B.

Jij bestrijdt dus dat deze stelling waar is??

[/quote']

Als je met "DAN is de verzameling A ongelijk groot aan verzameling B" bedoelt dat er geen 1-1 correspondentie bestaat tussen A en B dan zeg ik inderdaad dat die stelling niet waar is.

Om precies te zijn bedoel ik datgene wat ik schreef:

Als je alle elementen uit verzameling A in een een-op-een correspondentie kunt koppelen aan alle elementen van verzameling B uitgezonderd 1,

DAN is de verzameling A ongelijk groot aan verzameling B.

En jij beweert dat deze stelling niet waar is.

Omdat plaatjes meer zeggen dan woorden:

Dus alle elementen uit verzameling A zijn in een een-op-een correspondentie te koppelen aan alle elementen van verzameling B uitgezonderd 1.

In het plaatje zijn er 4 koppels getekend maar dat kunnen er ook veel meer zijn (aantal is onbepaald), maar altijd in koppels! ( want we begonnen met 2 gelijke verzamelingen waarbij in 1 verzameling er eentje was afgedaan of bijgedaan)

Maar nu stel jij dat het mogelijk is om een andere 1 op 1 koppeling mogelijk is maar dan zonder dat er 1 overblijft. En dat daarom verzameling A mogelijk even groot kan zijn als verzameling B.

Als je een andere koppeling zou proberen, kan dat alleen maar door een bestaande koppeling eerst te ontkoppelen en dan kun je de losse ( in het plaatje nr. 5) weliswaar koppelen, maar dan blijft er door de ontkoppelde bestaande koppeling per definitie een andere los element over die was ontkoppeld, en derhalve nog niet weer gekoppeld is.

Hergroepering van de koppels lost het probleem van het losse element dus niet op:

dat probleem blijft bestaan.

De verzamelingen blijven ongelijk groot.

En dit is een sluitende bewering.

Dit is een sluitende bewering voor eindige verzamelingen, maar niet voor oneindige.

@ waar hebben we het over - inzichtelijkheid:

En slechts ter illustratie om inzichtelijk te maken hoe een koppeling gebruik maakt van onderliggende reeksen ( niet als bewijs! ) : Zie het onderstaande plaatje.

De bovenste horizontale lijn is langer dan het onderstaande, toch?

Want het blauwe gedeelte is gelijk met onderliggende lijn want die is met een reeks te koppelen. Maar de bovenste lijn heeft nog iets extra’s buiten de volgens de koppeling geldende correspondentie-gelijkheid.

Volgens de correspondentiedefinitie hebben beide lijnen evenveel punten. Die hele correspondentiedefinitie zegt dus niets over de lengte van de lijnen. Ik kan het je sterker vertellen: volgens de correspondentiedefinitie hebben zelfs een lijn en een vlak evenveel punten. Om dat onderscheid te maken is de correspondentiedefinitie waardeloos en moet je meer structuur aanbrengen, bijvoorbeeld een algebraïsche structuur, of een meetkundige structuur. Met het laatste bijvoorbeeld: als je een punt weghaalt uit een lijn valt de lijn in twee stukken uiteen, terwijl dat niet bij een vlak gebeurd. Lengte is ook een goed begrip om meetkundig onderscheid te maken. Maar dat meetkundig onderscheid wordt niet gemaakt door die correspondentiedefinitie. Dat is belangrijk om te onthouden. Jij ziet twee verzamelingen en ziet dat ze anders zijn vanwege hun meetkundige- of algebraïsche structuren, maar dat betekent niet dat er geen 1-1 correspondentie kan worden gevonden. Het is wel zo dat die 1-1 correspondentie niet de meetkundige- of algebraïsche structuur intact laat. Als je vervolgens eist dat er een 1-1 correspondentie moet zijn die ook nog eens die structuren intact laat, dan geef ik je gelijk: die bestaan dan niet.

Geen idee of dit je iets helpt, maar misschien moeten we er toch maar eens een einde aan maken. Ik zal je eventuele antwoord in ieder geval wel lezen.

[broer konijn 0]

De stelling

Als je alle elementen uit verzameling A in een een-op-een correspondentie kunt koppelen aan alle elementen van verzameling B uitgezonderd 1,

DAN is de verzameling A ongelijk groot aan verzameling B

En jij beweert dat deze stelling niet waar is.

Dus alle elementen uit verzameling A zijn in een een-op-een correspondentie te koppelen aan alle elementen van verzameling B uitgezonderd 1.

In het plaatje zijn er 4 koppels getekend maar dat kunnen er ook veel meer zijn (aantal is onbepaald), maar altijd in koppels! ( want we begonnen met 2 gelijke verzamelingen waarbij in 1 verzameling er eentje was afgedaan of bijgedaan)

Maar nu stel jij dat het mogelijk is om een andere 1 op 1 koppeling mogelijk is maar dan zonder dat er 1 overblijft. En dat daarom verzameling A mogelijk even groot kan zijn als verzameling B.

Als je een andere koppeling zou proberen, kan dat alleen maar door een bestaande koppeling eerst te ontkoppelen en dan kun je de losse ( in het plaatje nr. 5) weliswaar koppelen, maar dan blijft er door de ontkoppelde bestaande koppeling per definitie een andere los element over die was ontkoppeld, en derhalve nog niet weer gekoppeld is.

Hergroepering van de koppels lost het probleem van het losse element dus niet op:

dat probleem blijft bestaan.

De verzamelingen blijven ongelijk groot.

En dit is een sluitende bewering.

Dit is een sluitende bewering voor eindige verzamelingen, maar niet voor oneindige

Nee! Let op! Want het bewijs ging helemaal niet uitsluitend over eindige verzamelingen!

Uitdrukkelijk heb ik aangegeven dat in het plaatje 4 koppels getekend waren maar dat het er ook veel meer kunnen zijn want het aantal is onbepaald en kan ook bijvoorbeeld oneindig zijn.

Dus alle elementen uit verzameling A zijn in een een-op-een correspondentie te koppelen aan alle elementen van verzameling B uitgezonderd 1. En het aantal koppels kan best oneindig zijn.

We spreken over 2 verzamelingen waarvan bekend is dat we alles, uitgezonderd 1, met elkaar kunnen afdekken met een 1-op-1 verbinding. Dus er blijft een niet-gekoppeld of ‘los’ element over.

Nu stel jij voor om een andere koppeling te gaan proberen op exact dezelfde verzameling, en dan zodanig dat die ene losse element ook gekoppeld gaat worden.

Nu gaan we dit proces uitvoeren door van deze uitgangssituatie over te gaan naar andere koppelingen. We kunnen dit stap voor stap doen want elke andere koppeling is te bereiken door telkens dezelfde basis-stap te herhalen.

Basis-stap:

Deze basis-stap is namelijk door een bestaande koppeling tussen A en B te ontkoppelen en dan deze te koppelen met een ander element. ( dus het element uit A te koppelen aan een ander element uit B die nog niet gekoppeld was, of een element uit B te koppelen aan een ander element uit A die nog niet gekoppeld was. Of door de koppeling van 2 koppels onderling te switchen). Maar na elke basis-stap blijft er nog steeds dat ene losse element aanwezig. Hooguit is nu alleen een ander element nu het losse element.

En dit is de reden dat ik zei dat hergroepering van de koppels het probleem van het losse element dus niet oplost: dat probleem blijft bestaan.

De verzamelingen blijven ongelijk groot.

En dáárom is dit is een sluitende bewering die geldig is ongeacht de grootte van de verzamelingen (incl. oneindigheid). Een ontkenning hiervan dient het geven bewijs te weerleggen, anders blijft zo’n ontkenning zonder overtuigingskracht en logica.

Je mag dit proces ook als volgt omschrijven:

Er is een honeymoon dansfeest in stad en een oneindig aantal man-vrouw koppels komen er op af.

Dus alleen maar koppels van mannen en vrouwen. Dus logischerwijs zijn er evenveel mannen als vrouwen. Vervolgens kom jij op dat dansfeest als enige zonder partner.

Zie je de gelijkenis met onze verzameling A en B die die 1-op-1 verbonden zijn uitgezonderd 1 ?

Maar nu komen de beweringen. Ik zeg: er zijn nu meer mannen dan vrouwen.

Jij zegt, nee er zijn nog steeds evenveel mannen en vrouwen.

Jij beweert dat als iedereen gaat dansen, er voor iedereen een man-vrouw koppel is.

Ik zeg: doe je best, schuif maar met de koppels, maar als je wordt gekoppeld aan een vrouw dan verschuif je alleen het probleem want haar man is dan partnerloos. En die man kun je ook wel weer koppelen aan een andere vrouw, maar daarmee ontkoppel je eerst haar van haar bestaande danspartner, en dan is die andere partner weer muurbloempje. Dus hoe je ook schuift (ander koppels maakt), er blijft altijd iemand zonder partner.

p.s.

Ik had net de stelling bewezen. Maar je mag het ook principiëler zien.

Je kunt de stelling ook als axioma hanteren ( met evenveel recht als het axioma dat als alles gekoppeld is de verzamelingen even groot zijn). Dus als je met de ene de andere wil ontkrachten kun je kiezen. Want waarom zou dan de ene de voorkeur hebben boven de andere? Dat is niet logisch.

(..) misschien moeten we er toch maar eens een einde aan maken. Ik zal je eventuele antwoord in ieder geval wel lezen.

Bedankt voor je reacties tot dusver.

[MysticNetherlands 298]

Broer Konijn, je ssnapt echt t concept 'oneindig' niet

[broer konijn 0]

Broer Konijn, je ssnapt echt t concept 'oneindig' niet

Misschien dat een snapshot helpt...?!

Twee dingen zijn menselijk niet te bevatten, het universum, en oneindigheid.

Maar van de oneindigheid snap jij het beter... zij is logisch te bevatten.

Twee dingen zijn universeel, de wiskunde en het menselijk onbegrip.

Maar van de wiskunde snap jij het beter... zij is niet universeel.

Twee dingen zijn onbeperkt geldig, het oneindige en de kerstgedachte.

Maar van het oneindige snap jij het concept beter... Grapje.

Fijne kerstdagen gewenst !

[MysticNetherlands 298]

Jij ook.

[Spons 0]

Broer Konijn, je ssnapt echt t concept 'oneindig' niet

Misschien dat een snapshot helpt...?!

Twee dingen zijn menselijk niet te bevatten, het universum, en oneindigheid.

Maar van de oneindigheid snap jij het beter... zij is logisch te bevatten.

Twee dingen zijn universeel, de wiskunde en het menselijk onbegrip.

Maar van de wiskunde snap jij het beter... zij is niet universeel.

Twee dingen zijn onbeperkt geldig, het oneindige en de kerstgedachte.

Maar van het oneindige snap jij het concept beter... Grapje.

Fijne kerstdagen gewenst !

Oneindigheid is makkelijk te snappen hoor, je blijft gewoon eeuwig door gaan. En waarom zou het universum niet te bevatten zijn? We weten nu veel meer van het universum dan dat we dat 100% geleden wisten. We beginnen het steeds beter te begrijpen en over 100 jaar zullen we het nog beter begrijpen.

[Tom1992 0]

{3k+1: k∈ℤ}∪{3k+2: k∈ℤ}∪{3k+3: k∈ℤ}

ben geen Christen, ben jood, geloof niet in een triniteit (met alle respect voor anders denkenden) en heb geen N als substantie genomen omdat de 0 een discutabel elememt van deze verzameling is.

Cheers!