Mathematische notatie van de Triniteit

[The Black Mathematician 82]

Ik vraag me ook af dit wel een goed voorbeeld is. Onbegrensdheid is volgens mij iets anders dan eindigheid, dat het aardoppervlak onbegrensd is, is volgens mij vooral een vertaling van de bewering dat het aardoppervlak een zogeheten variëteit zonder rand (Engels: manifold without boundary) is.

[Nunc 0]

Ik vraag me ook af dit wel een goed voorbeeld is. Onbegrensdheid is volgens mij iets anders dan eindigheid, dat het aardoppervlak onbegrensd is, is volgens mij vooral een vertaling van de bewering dat het aardoppervlak een zogeheten variëteit zonder rand (Engels: manifold without boundary) is.

De reizen die je op zo'n manifold kunt maken, zijn in potentie oneindig lang. Daar ging het me om. Maar zoals Chaim al opmerkt, het is vooral een abstractie.

[broer konijn 0]

Ik struikel over je conclusie: "beide verzamelingen hebben evenveel elementen"

Hoe kun je dat nu zeggen als je weet dat de verzameling niet klaar is? jij rekent er dus klaarblijkelijk mee dat je weet wanneer oneindig stopt. Want je telt: "er zijn evenveel". En dat doe je door de goocheltruc": probeer maar eens een te noemen. Maar je kunt helemaal niets noemen in het oneindige. Dus je hebt er gewoon geen idee van of die verzamelingen even groot zijn. Maar waar je wel een bewijsbaar wiskundig idee van hebt is hoeveel je kwijtraakt op weg er naar toe. Steeds meer. Oneindig veel als je niet ergens ophoudt.

Wat is een een verzameling die "niet klaar" is? Wat houdt dat in?

Het valt mij op dat in het gesprek semantische dingetjes mee gaan wegen als onderwerp van verschil. Ik zeg dat niet specifiek tegen jou, en ik vind het ook helemaal niet erg, maar wil er even de aandacht op vestigen. Dit onderwerp wordt gebruikt als scheidsmuur met grote groepen gelovigen in de almachtige en enige God. Gelovigen worden uitelkaar geslagen op dezelfde wijze als joden en christenen via de sabbat uitelkaar worden geslagen, en katholieken en protestanten via de Traditie. Wil je een vruchtbaar gesprek, dan is het belangrijk om elkaars instrumenten te respecteren of tenminste te vertalen. Ons onderwerp is een zeer illustratief gebeuren waaraan je kunt zien hoe het in het geloof ook steeds mis kan gaan. En vanwege ontbrekende wiskundige eenduidigheid in bewijsvoering zal het in het geloof ook bijna nooit goed gaan, wanneer er niet bewust aandacht wordt gegeven aan vertaling van de perspectieven en de begrippen van de ander.

Zuiver vertalen kan echter haast nooit, want je hebt niet het denkkader van de ander. Dus moet je soms meegaan in de redeneerlijn van de ander, maar dat impliceert dat je zelf ook je eigen lijn kunt kwijtraken. En zo ontstaat er een andere breuklijn bij mensen die het niet meer weten en daarom gaan ontkoppelen.

Dan nu naar ons onderwerp. Een "verzameling die niet klaar is". Ik druk mij misschien niet zuiver uit. Ik bedoel hier met een verzameling, twee verzamelingen die onder een verzamelteken met elkaar worden vergeleken. Elke zodanige verzameling geeft een compleetheid aan. Het verzamelteken definieert een compleetheid. Het verzamelteken definieert eindigheid. Want het gaat om iets dat verzameld is. De relatie in de verzameling definieert de elementen. Dat moet je je gaan realiseren, want in de eindigheid hebben we een hulpmiddel: je kunt gewoon gaan kijken in de tabel of er steeds een match is. Je kunt het ook berekenen. Maar principieel moet je het gaan bekijken in realiteit: namelijk door de elementen te bekijken. Naar de elementen kijken is niet hetzelfde als de functie volgen; ook niet wanneer de functie trouw het spoor van de elementen volgt.

De wiskunde is daarin alleen maar een instrument. Kun je door een formule of verband de relatie bepalen tussen de elementen, dan heb je een prachtig beeld vastgelegd van de verzameling. En die kan kloppen. Echter, daarbij moet je één ding heel zuiver voor ogen houden: op het moment dat je een vergelijking of functie of relatie gebruikt om naar de verzameling (en haar elementen) te kijken, dan kijk je door de bril van de vergelijking. Je kunt dus nooit meer los naar de elementen kijken, want je wiskundige bril definieert de elementen. Soms is het daarom noodzakelijk om je wiskundebril even af te zetten om te kijken of je nog wel iets meet dat overeenstemt met de verzameling(en).

Ik neem even als voorbeeld hoe we op dit onderwerp kwamen:

Met oneindig kun je het volgende met getallen doen:

de rij hele getallen: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, .... tot in het oneindige

de rij even getallen: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, ... tot in het oneindige

Deze twee oneindige rijen zijn even lang. Dat lijkt nogal tegenstrijdig, want... de rij even getallen slaat toch getallen over? Maar met oneindig gaat het wel vaker tegen-intuïtief. Als je wilt weten of er evenveel getallen in beide rijen zitten, moet je ze paren. Koppel 1 (heel) aan 2 (even), 2 (heel) aan 4 (even), 3 (heel) aan 6 (even), ..... N (heel) aan 2 x N (even). Als je elk heel getal aan een even getal koppelt (door x 2 te doen), dan zie je dat je daar altijd mee door kunt gaan. En je zult nooit een even getal vinden dat geen heel getal heeft waarmee het gekoppeld is (of juist een even getal dat aan twee verschillende hele getallen is gekoppeld). En andersom zul je ook nooit een heel getal kunnen noemen, dat geen even getal gekoppeld heeft, of aan juist twee verschillende even getallen gekoppeld is. (Wiskundig gesproken is dit een bijectie).

Dit om te illustreren dat je gekke dingen kunt krijgen met oneindigheid: twee rijen (even en heel) die niet even lang lijken, zijn wel even lang.

Hier zie je heel mooi het verschil tussen realiteit en de wiskundebril.

De realiteit is begrijpbaar voor elke leek: natuurlijke getallen en haar dubbels. Nunc koppelt twee getallen. Ik geef even een andere bewoording van hetzelfde: Op een gegeven moment heb je twee koppels. Dan weet jij wat jij nu moet zeggen: Nunc, je denkt in termen van eindigheid. En inderdaad. Met die door de mens gemaakte koppeling, voert Nunc als waarheid in dat de natuur die getallen koppelt. Een koppeling in eindige porties van 2. Maar dat is niet zo. Bij elke koppeling geldt dat in realiteit naast het laatste gekoppelde getal een ander getal ligt. Dus steeds kun je met evenveel recht er een element bij eenverzameling extra rekenen. Want de verzameling is niet af. Dus telkens als je de verzameling niet met een koppel, maar met slechts één element uitbreidt, dan klopt de logica en de waarheid niet meer. De logica ontstaat derhalve UITSLUITEND doordat je zelf die logica als bril of als definitie of als vooronderstelling hebt zitten invoeren. Je krijgt dus UITSLUITEND terug wat je erin hebt gestopt. Maar zet je je koppelbril even af, dan zie je onmiddellijk dat er een fout optreedt als je maar "één element verder kijkt" Dit element nu stelselmatig negeren en zelfs de toegang te ontzeggen aan de reeks waarin deze thuishoort zolang hij niet gekoppeld is met zijn buurman, is volgens mij lariekoek. En bij deze ene onlogica blijft het niet.

Waarom valt niemand op dat dit soort verschillen optreden?

1. Niet de logica aan het begin willen meenemen naar "het einde".

2. Wel het instrument willen blijven hanteren vanwege luiheid om zelf aan het werk te gaan.

3. Niet een verstandelijke voorstelling willen maken hoe de reeks eruit zal zien op elk punt van de reeks.

Wie uitsluitend let op woorden die merkt het ook: er wordt een sleutelwaarheid gebracht: "noem een getal en kijk naar het effect". Dat is hetzelfde als "op een gegeven moment". Maar bij een reeks moet je niet kijken naar de verbindende relatie, maar naar de reeks zelf. Want die reeks is wat de relatie doet dragen. En als die reeks anders is dan die relatie aangeeft, dan klopt de relatie op dat punt niet.

En mijn onbegrip is dan dat je je eigen verstand toestaat om onlogica te omarmen als waarheid. En mijn probleem met de voorstelling is, dat dat onbegrip en dat bewust stelselmatig verwrongen omgaan met waarheid, als logica wordt gehanteerd tot ondersteuning van waarheid in het geloof.

In ons geval wordt dus oneindigheid gevangen in een verzameling door er eindigheidskenmerken aan te geven. Want: je koppelt twee getallen aan elkaar met een functie. Als die functie tot in het oneindig geldig is, dan blijft de relatie als norm de elementen met elkaar verbonden. Je hanteert dus niet de waarheid, maar je hanteert de waarheid in de dimensie van het kijken naar het tweede element via de functie. Maar beschouw je nu de elementen los elk in eigen reeks dan weet je dat je altijd nog één stapje verder kunt. Dat is dus één stapje verder dan de verzamelde elementen. Oneindigheid past dus zo bezien in geen enkele verzameling. Want die verzameling krijg je nooit compleet.

Taalkundig zit hier overigens wel een kromming: òf je stelt dat een verzameling is, zoals de definitie. Dan doet de verzameling tekort aan de oneindigheid. Òf je stelt dat de verzameling is wat het zou moeten zijn, namelijk de oneindigheid, maar dan is de functie-verzameling niet "af". Mij is om het even hoe je het definieert, het gaat mij erom dat de verzameling niet correspondeert met wat het zou moeten zijn.

Je verzameling gaat ervan uit dat je op een bepaald punt een balans opmaakt. Immers je koppelt steeds twee getallen. Maar dat mag helemaal niet.

Nee, jij bepaalt dat dat niet mag. Het is gewoon standaard definitie in de wiskunde: verzamelingen noemen we gelijk als je voor elk element in de ene een uniek element in de andere kan aanwijzen en andersom. Je kan het niet eens zijn met die definitie, maar gegeven die definitie klopt wel de conclusie dat de even getallen en de natuurlijke getallen even veel elementen bevatten.

Als jij het gelijk noemt, terwijl je weet dat dat niet waar is, dan breng jij onwaarheid in. Dat kun je vervolgens nooit als steunpilaar van waarheid inzetten. Toch? Neem alle even en oneven getallen. Je kunt niet anders concluderen dat ze gelijk zijn, dan dat je een streep hebt gezet, Want als je geen streep zet, ligt er altijd een ongelijkmaker naast.

Elk element in jouw verzameling is gekoppeld. Maar hoe weet je dat? Door de verzamelingen te vergelijken. Hoe vergelijk je de verzamelingen? Door de elementen naast elkaar te zetten. Zet jij de elementen naast elkaar? Geen sprake van! Je kijkt naar de reeks door de ogen van je functie. Dat is door de bril van de relatie die je hebt gelegd in de verzameling. Maar de reële verzameling is niet wat de functie definieert, maar wat de realiteit biedt. Die realiteit ken je, want in het oneindige is de relatie niet anders: immers niets was geëindigd; dus de relatie en de verzameling gaat door net zoals die hier dichtbij loopt. En dan weet je dus per definitie dat de koppeling van natuurlijke getallen aan de dubbels, steeds een naastgelegen element heeft dat de verzamelingen ongelijk maakt. Realiteit. Waarheid. Tot in de eeuwigheid.

Jij zegt: verzamelingen noemen we gelijk als je voor elk element in de ene een uniek element in de andere kan aanwijzen en andersom. Nemen we eens een voorbeeld:

Stel dat je de rij even en de rij oneven getallen hebt. Die zijn los bekeken allebei al even lang als de rij met hele getallen, maar samen genomen zijn ze nog steeds (samen) even lang als de rij met hele getallen. Hier heb je dus een situatie waar 2 x iets = iets (met "iets" = oneindig). Als je niet met even en oneven zou werken, maar met drievouden (0, 3, 6, 9, .... || 1, 4, 7, 10, ... || 2, 5, 8, 11, ...) dan heb je zelfs drie rijtjes die alledrie (los genomen) al oneindig zijn, maar (op dezelfde manier te bewijzen als de x 2 bij heel-even) alledrie elk los al even lang zijn als de rij met alle (hele) getallen. Maar als je ze alledrie samen neemt, zijn ze samen ook nog steeds even lang als de rij met hele getallen. Dus daar heb je een situatie waar "iets + iets + iets = iets" (met "iets" = oneindig).

Hier zie je dat door te kijken naar een verzameling met de bril op van de functie, de ogen stijf dicht worden geknepen voor de realiteit dat direct naast de elementen die volgens de functie moeten voorkomen, in de verzameling elementen thuishoren die de gelijkheid teniet doen. De waarheid is dat het steeds verschilt waar je de grens trekt. Een grens trekken mag niet, want we hebben het over oneindigheid. Maar door de functie als bril te nemen trek je impliciet, maar heel wiskundig bewijsbaar concreet, een scherpe grens, alsof je de oneindigheid hebt afgegrensd. En dat wordt zodanig extreem gedaan dat er zonder moeite een getal toe of afgevoegd wordt omdat de totalen toch steeds gelijk zijn. Dat vind ik extreem bruut. 0--> oneindig is even groot als 1 --> oneindig. De logica aan het begin wordt met het onnadenkende aan het eind gebroken.

Als een haas en een schildpad tot in het oneindige gaan lopen in dezelfde richting, dan loopt de haas op een gegeven moment oneindig ver van het schildpad af. Mee eens?

Nee, want een gegeven moment betekent "na eindig veel tijd". En na eindig veel tijd is er door beide beesten een eindige afstand afgelegd, dus is de verschilafstand ook eindig.

Dat is een mooi voorbeeld van semantiek. Hoe zou ik anders moeten formuleren dat op moment nul ook de afstand nul is en op moment 100 de afstand heel klein, en op moment heel groot pas de afstand nadert naar heel groot. Ik geef ermee aan dat de oneindigheid van het verschil met de schildpad kleiner is dan de oneindigheid van de haas. Dat kun je alleen vergelijken als je kijkt "op een gegeven moment". Mij nu aanspreken op de woorden bij een vergelijking van die twee oneindigheden is mij iets in de schoenen schuiven wat ik niet zeg, en een stukje logica wegmoffelen die ik nadrukkelijk benoem.

En dat brengt mij op de verdieping: Denk aan de formulering van Nunc en Cantor: neem twee koppels. Je kunt niet anders nemen dan dat er een koppeling is. Dat is exact mijn formulering: "Op een gegeven moment". Dus wees dan ook serieus en consequent: het is logisch terecht om "op een gegeven moment" te zeggen in logisch verband van hetgeen op dat moment geldig is. En dan blijkt per onmiddelijk dat oneindigheid alleen maar onmeetbaar en idioot wordt doordat er geen enkele wiskundige op heel de wereld bij het naderen van de oneindigheid durft te zeggen: "op een gegeven moment". Maar zoals we zagen: het uitgangspunt en de start en het axioma wordt gebracht door de eenvoudige constatering: Op een gegeven moment heb je een element dat je kunt koppelen. Dat is Eindigheid in de oneindigheidsreeks toepassen.

Ik hoop dat met mijn uitleg erbij jou wel duidelijk is dat mijn gebruik van "op een gegeven moment" wel passend en logisch correct is. Dat gaat niet alleen over eindigheden maar ook over oneindigheden, en waar het over gaat hangt af van dat gegeven moment, dat zich kennelijk nog moet voordoen als je in termen van eindigheid blijft hangen.

Maar ik zie wel waar je naar toe wilt,

Gelukkig maar.

jij denkt steeds dat als je twee oneindige verzamelingen hebt, waarvan de een een echte deelverzameling is van de ander, de ander dan ook altijd groter is. Ja zo kun je het definiëren, maar dat doet men in de wiskunde nu eenmaal niet. Domweg omdat jouw definitie gewoon onhandig is in de praktijk omdat verzamelingen vaak oneindig zijn maar niet noodzakelijk uit getallen bestaan met een duidelijke ordening en waarvan het ook niet altijd duidelijk is of de ene een deelverzameling is van de andere. Hoe kan je de hoeveelheid elementen van die verzamelingen dan nog met elkaar vergelijken? Dan is jouw definitie nutteloos, terwijl de definitie die Nunc en ik en de hele wiskundige wereld hanteert wel werkt.

@ "Ja zo kun je het definiëren": Dank je. Dat denk ik inderdaad ook.

@ "onhandig": Is het onlogisch?

@ "nutteloos": Is het in onze context logisch?

@ "hoe kun je anders vergelijken": Is dat een norm van logica?

@ "wel werkt": Is wat wel werkt normatief voor wat "is"?

@ "definitie": Klopt het hanteren van een definitie die aantoonbaar onjuist is?

Een gebruiksvoorwerp of instrument kan toch prima gehanteerd worden onder de vaststelling: "We gebruiken het graag; maar logisch is het niet. Uitroepteken."

Maar dat is wel precies tegenovergesteld aan jullie presentatie hier in deze draad.

Wat jij en Nunc doen, dat is om wat logisch niet klopt logisch noemen, en wat logisch is, noem je "onlogisch, of: niet waar, of: niet meer dan intuïtief".

Stel dat we een groep mannen en vrouwen binnen laten. Nu willen we de vrouwen niet tellen, dus tellen we de mannen, en we laten ze per koppel binnen. We spreken over een oneindigheid, zelfs een uitdijende oneindigheid, omdat we zo langzaam tellen dat er nieuwe mannen en vrouwen geboren worden voor we verdertellend kunnen inhalen.

Jouw theoretisch harnas bepaalt dat er evenveel mannen en vrouwen zijn. Maar ik zeg: nee, doe normaal! Dat is alleen maar zo omdat je ze per koppel binnenlaat!!!

Ik toon mij dan bewijsbaar beduidend vrouwvriendelijker dan jij, en ik laat tegelijk 72 vrouwen binnen per één man. En voor elke 72 vrouwen één man.

Conclusie: Het klopt!! Er zijn echt 72 vrouwen voor elke man!!

Berust jij in je zaak dat je bewijsbaar hetzelfde doet,

terwijl je 71 vrouwen minder hebt??

Nou, als het ook mogelijk zou zijn om één of meer mannen per elke vrouw binnen te laten zonder dat je met een tekort komt, dan zijn er evenveel mannen als vrouwen. Het is heel belangrijk dat het ook andersom moet kunnen. Het moet beide kanten op kunnen, anders werkt het niet.

Uh, maar ik was begonnen met de opmerking dat we de vrouwen tellen door paring met de mannen. We zijn vrouwen aan het tellen. In casu 72 keer meer vrouwen dan mannen.

Ik ben even stil. Tijd speelt geen rol, zoals MysticNetherlands ten onrechte wel dacht. Ik voegde tijd (langzaam tellen, zei ik) uitsluitend toe om inzichtelijk te maken dat we het hier over een gedachtenexperimentele zaak van oneindigheid hebben.

Dus ik vraag je: wat zou logischerwijs beletten dat het niet beide kanten op werkt? Zowel de mannen als de vrouwen zijn er in oneindige hoeveelheden.

Met onze wiskundebril op weten we nu dat we nooit meer minder dan 72 vrouwen tegelijk binnen laten, omdat dat als harnas van waarheid op de oneindigheid wordt losgelaten. Maar allebeide weten we dat wat wij als waarheid hanteren, alleen maar bewaarheid wordt door onze rekenregel dat wij ze niet anders tellen dan in koppels van 72. Het is logica tot in het absurde. We gaan concluderen dat er 72 x meer vrouwen zijn dan mannen. Doe je dat niet, dan kun je ook niet concluderen dat er evenveel mannen zijn als vrouwen.

Deze exercitie leert ons dus dat we bij de relationele betrekkingen niets anders doen dat de eerste verzameling vergelijken met zichzelf. We tellen de eerste reeks met een handicap en die handicap noteren we als telbare tweede reeks, en oh wat een wonder: die reeksen passen precies bij elkaar en zijn per definitie gelijk aan elkaar.

Maar de realiteit leert ons dat onze wiskunde niets anders doet dan een stelselmatig patroon uitzetten over de realiteit heen. Dat wij gelijkheid berekenen, zegt daarom uitsluitend dat wij nog niet verder voortgeschreden zijn met onze vergelijkend voortgaan. Maar de realiteit stopt niet bij ons vastgesteld patroon, maar gaat daar overheen.

Met ons patroon hebben we bewezen dat als je steeds 72 vrouwen neemt, je twee oneindige reeksen krijgt die even lang zijn. Er zijn dus evenveel groepjes van 72 vrouwen als dat er enkele mannen zijn. Logisch is dan de conclusie: er zijn 72 keer meer vrouwen dan mannen.

Wat vind je daar nu van?

[broer konijn 0]

Stel dat je drie verzamelingen hebt die even groot zijn.

Jouw drie verzamelingen.

En we gaan er nu elementen uit halen.

Vraag: zijn die verzamelingen wiskundig gezien nog even groot?

Als je er hetzelfde eindige aantal elementen uit haalt wel.

Ik bedoel dit: De verzamelingen zijn even groot, maar alleen bij de ene verzameling haal ik er iets uit, namelijk een eindig aantal elementen (b.v. 1 ).

Van de andere blijf ik dus af en daar wijzigt de grootte niet.

Zijn dan de verzamelingen nog steeds altijd even groot?

[The Black Mathematician 82]

Edit: toch nog een poging:

Broer Konijn, als we eens kijken naar de verzameling van natuurlijke getallen {1,2,3, etc.}

als je nu eens de deelverzameling van even getallen gaat vergelijken met de deelverzameling van oneven getallen. Welke verzameling bevat meer elementen? Hoe bepaal je dat?

[MysticNetherlands 298]

Broer Konijn: Oneindig min 1 kan niet. Het heeft geen betekenis.

En verder haal je continu de tijd erbij (eerst dit, dan dat, één voor één binnenlaten etc) maar zo werken verzamelingen niet

[broer konijn 0]

Ik bedoel dit: De verzamelingen zijn even groot, maar alleen bij de ene verzameling haal ik er iets uit, namelijk een eindig aantal elementen (b.v. 1 ).

Van de andere blijf ik dus af en daar wijzigt de grootte niet.

Zijn dan de verzamelingen nog steeds altijd even groot?

Dus 2 verzamelingen zijn even groot.

Uit de ene verzameling haal ik er 1 van af. Ondanks dat blijft volgens jou toch beide verzamelingen even groot?

..Hoe bepaal je dat?

(en gebruik daarbij gerust de methode die volgens jou prevaleert)

Broer Konijn: Oneindig min 1 kan niet. Het heeft geen betekenis

De 2 verzamelingen zijn even groot.

Uit de ene verzameling haal ik er 1 van af. Jij zegt: dat kan niet. Jij zegt: dat heeft geen betekenis. Laten we er gewoon nu wél eens 1 vanaf halen door de ene verzameling niet te laten beginnen bij 2 maar bij 4.

Bepaling van de grootte is dan onmogelijk en betekenisloos?

[The Black Mathematician 82]

Ik vind ze ook even groot. Maar waarom mag je volgens jou hier wel "mijn" methode gebruiken?

Nog een vraag: als je de verzameling van gehele getallen (dus 0 en de negatieve getallen doen ook mee) bekijkt, geldt nu ook dat er even veel oneven gehele getallen zijn als even gehele getallen?

[MysticNetherlands 298]

Broer konijn, oneindig min 1 bestaat niet. Oneindig is niet een getal, meer een afspraak, een concept. Daar is de hele wereld t over eens, mensen oneindig ( ) veel slimmer dan jij en ik opgeteld. Je snapt maar nier dat oneindig geen getal is waar je even 1, of 2 bij kunt optellen of aftrekken. En je probeert daar om heen te zeilen door de tijd in verzameling te introduceren, ook dat is een no-no

[Chaim 157]

Maar ik moet Broer Konijn wel toegeven dat oneindigheid even wennen is.

Stel, je hebt een verzameling met alle Natuurlijke getallen {1,2,3,4,5,6…}; en ik bedoel dus echt alle Natuurlijke getallen, zonder enige uitzondering. En stel, je vermenigvuldigt al deze getallen met 2, dan krijg je logischerwijs een verzameling met slechts alle even getallen: 2,4,6,8,10,12,... Nu lijkt het logisch dat de som van slechts al de even Natuurlijke getallen, een kleiner aantal getallen zal opleveren dan de som van alle Natuurlijke getallen; even en oneven. Maar dat kan niet waar zijn, want er is een bewezen 1-op-1 relatie. Elk getal uit de verzameling van alle Natuurlijke getallen is namelijk vermenigvuldigd, en heeft dus per definitie exact één tegenhanger in de ander verzameling (1 heeft als tegenhanger 2; 2 heeft als tegenhanger 4; 3 heeft als tegenhanger 6; 4 heeft als tegenhanger 8, etc...). Beide verzamelingen hebben dus per definitie evenveel elementen (tenzij ik het helemaal verkeerd begrijp, wat ik niet uitsluit). Maar verwarring is zondermeer begrijpelijk m.i.

[Nunc 0]

Maar ik moet Broer Konijn wel toegeven dat oneindigheid even wennen is.

Stel, je hebt een verzameling met alle Natuurlijke getallen {1,2,3,4,5,6…}; en ik bedoel dus echt alle Natuurlijke getallen, zonder enige uitzondering. En stel, je vermenigvuldigt al deze getallen met 2, dan krijg je logischerwijs een verzameling met slechts alle even getallen: 2,4,6,8,10,12,... Nu lijkt het logisch dat de som van slechts al de even Natuurlijke getallen, een kleiner aantal getallen zal opleveren dan de som van alle Natuurlijke getallen; even en oneven. Maar dat kan niet waar zijn, want er is een bewezen 1-op-1 relatie. Elk getal uit de verzameling van alle Natuurlijke getallen is namelijk vermenigvuldigd, en heeft dus per definitie exact één tegenhanger in de ander verzameling (1 heeft als tegenhanger 2; 2 heeft als tegenhanger 4; 3 heeft als tegenhanger 6; 4 heeft als tegenhanger 8, etc...). Beide verzamelingen hebben dus per definitie evenveel elementen (tenzij ik het helemaal verkeerd begrijp, wat ik niet uitsluit). Maar verwarring is zondermeer begrijpelijk m.i.

Het begrip oneindig is m.i. ook vooral een wiskundige abstractie. We zullen volgens mij in de realiteit niet echt oneindigheden (alleen weer als concept: eindeloos lang doorreizen op het aardoppervlak, maar dan moet je eindeloos veel tijd hebben). In die zin kan het argument van Broer Konijn dienen (dat heb ik vaker gezien) om aan te tonen (of aannemelijk te maken, want het gaat om intuïtie) dat oneindig in de fysieke werkelijkheid niet bestaat.

[broer konijn 0]

Dus 2 verzamelingen zijn even groot.

Uit de ene verzameling haal ik er 1 van af. Ondanks dat blijft volgens jou toch beide verzamelingen even groot?

Ik vind ze ook even groot.

Logica onderkennen 1

Dus gestel 2 verzamelingen zijn even groot. Uit de ene verzameling haal ik er 1 van af.

En toch beweer je dan dat toch beide verzamelingen even groot blijven.

Hiermee gooi je de basale rekenregels overboord.

2 verzamelingen die even groot zijn waarbij je van de ene verzameling 1 vanaf haalt, is per definitie ongelijk groot.

Als zou gelden: x + 1 = x dan krijg je: 1 = 0. Oftewel flauwekul.

Je moet dus terug naar de basisaanname dat de 2 verzamelingen even groot waren.

In feite is het:Onbekend + 1 = onbekend

Maar je kunt nooit stellen dat 2 verzamelingen die beide onbekend groot zijn, echt gelijk groot zijn.

Want onbekend is geen getal.

Logica onderkennen 2

Ook via een andere invalshoek kom je op hetzelfde:

we begonnen met 2 verzamelingen waarvan gesteld was dat ze even groot zijn.

Dus op dat moment zijn alle elementen van de twee verzamelingen in een een-op-een correspondentie aan elkaar gekoppeld.Als we bij de ene verzameling 1 eraf halen. Dan blijft per definitie een element over zonder 1-op-1 koppeling: dus de verzamelingen zijn ongelijk groot.

oneindig min 1 bestaat niet. Oneindig is niet een getal, meer een afspraak, een concept

Mee eens! Een concept is geen getal. De grootte is dan onbepaald.Net zoals je niet de wortel kunt nemen van een fruitmand.

Dus als de grootte van 2 verzamelingen onbepaald zijn, dan kun je niet stellen dat ze gelijk groot zijn.

Maar wel dat ALS ze gelijk groot zijn, dat als je dan vervolgens van de ene verzameling 1 afhaalt, dat dan die ene verzameling kleiner is dan de andere.

[The Black Mathematician 82]

Dus 2 verzamelingen zijn even groot.

Uit de ene verzameling haal ik er 1 van af. Ondanks dat blijft volgens jou toch beide verzamelingen even groot?

Ik vind ze ook even groot.

Logica onderkennen 1

Dus gestel 2 verzamelingen zijn even groot. Uit de ene verzameling haal ik er 1 van af.

En toch beweer je dan dat toch beide verzamelingen even groot blijven.

Hiermee gooi je de basale rekenregels overboord.

2 verzamelingen die even groot zijn waarbij je van de ene verzameling 1 vanaf haalt, is per definitie ongelijk groot.

Als zou gelden: x + 1 = x dan krijg je: 1 = 0. Oftewel flauwekul.

Ik dacht dat je met "ik haal er één van af" bedoelde: "ik trek 1 van een even getal af en verkrijg een oneven getal" maar dat heb ik verkeerd gelezen. Overigens gelden die basale rekenregels niet voor oneindigheden. Net zomin je door 0 kan delen, kan je oneindig van oneindig (als maat van een verzameling) aftrekken omdat je dan dit soort paradoxen krijgt.

Ook via een andere invalshoek kom je op hetzelfde:

we begonnen met 2 verzamelingen waarvan gesteld was dat ze even groot zijn.

Dus op dat moment zijn alle elementen van de twee verzamelingen in een een-op-een correspondentie aan elkaar gekoppeld.Als we bij de ene verzameling 1 eraf halen. Dan blijft per definitie een element over zonder 1-op-1 koppeling: dus de verzamelingen zijn ongelijk groot.

Logica onderkennen

Die koppeling gaat inderdaad verloren, maar dat betekent niet dat er niet een andere 1-1 koppeling gevonden kan worden tussen de ene verzameling min een element en de andere verzameling. De gedachte dat die automatisch niet kan bestaan als de oorspronkelijke koppeling verloren gaat is wel erg simplistisch.

Een aantal vragen: als je naar de niet-negatieve gehele getallen {0,1,2,3,...} kijkt, en gaat kijken naar de deelverzameling van even getallen, en naar de deelverzameling van oneven getallen. Zijn er volgens jouw logica meer of minder even getallen dan oneven getallen? Of zijn er evenveel? Waarom? En als je "mijn" methode gebruikt, waarom is dat nu wel geoorloofd?

Als je nu naar de gehele getallen {... , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} kijkt (dus negatieve getallen doen ook mee) en je van deze getallen de deelverzamelingen van even getallen respectievelijk oneven getallen. Zelfde vraag: bevatten deze deelverzamelingen evenveel elementen volgens jouw logica? Waarom?

[Nunc 0]

Ik vind ze ook even groot.

Logica onderkennen 1

Dus gestel 2 verzamelingen zijn even groot. Uit de ene verzameling haal ik er 1 van af.

En toch beweer je dan dat toch beide verzamelingen even groot blijven.

Hiermee gooi je de basale rekenregels overboord.

2 verzamelingen die even groot zijn waarbij je van de ene verzameling 1 vanaf haalt, is per definitie ongelijk groot.

Als zou gelden: x + 1 = x dan krijg je: 1 = 0. Oftewel flauwekul.

Ik dacht dat je met "ik haal er één van af" bedoelde: "ik trek 1 van een even getal af en verkrijg een oneven getal" maar dat heb ik verkeerd gelezen. Overigens gelden die basale rekenregels niet voor oneindigheden. Net zomin je door 0 kan delen, kan je oneindig van oneindig (als maat van een verzameling) aftrekken omdat je dan dit soort paradoxen krijgt.

(...)

Ik denk dat we hier wel iets fundamenteels raken. Je kunt bv. niet door 0 delen, wat simpelweg een wiskundige afspraak is. Als we het wel zouden toestaan, krijgen we ongedefinieerde antwoorden. Idem voor de afspraken rondom oneindig. Je kunt oneindig niet van oneindig aftrekken omdat het ongedefinieerde antwoorden geeft: als ik oneindig veel hele getallen heb, en ik haal er oneindig veel (alles > 100) vanaf, dan houd ik 100 getallen over (dus: oneindig - oneindig = 100) maar als ik oneindig veel hele getallen heb en ik haal er elk tweede getal (bv. alle even getallen) vanaf, dan heb ik oneindig veel getallen (oneindig - oneindig = oneindig).

Wiskundig gezien kun je zo'n minus operatie gewoon "verbieden". Het is een regel die je niet mag uitvoeren in het logische systeem. En in datzelfde logische systeem kun je afspreken dat als je altijd paren kunt maken, je te maken hebt met even grote verzamelingen.

Maar ik zie niet in, waarom je zulke operaties in de realiteit niet zou kunnen uitvoeren, anders dan vanwege het feit dat "oneindig" sowieso niet mogelijk zou zijn in de realiteit. Maar stel dat we aannemen dat we een oneindigheid, bv. een oneindig aantal boeken (in oneindig veel Ikea boekenkasten (*)) heb. En ik heb oneindig veel bibliothecarissen die tegelijkertijd elk tweede boek uit de kast halen. Ik heb dan oneindig veel boeken over. Maar als ik diezelfde oneindig veel bibliothecarissen opdracht geef om alle oneindig veel boeken behalve de eerste 100 weg te halen, dan houd ik er 100 over. Wat in het wiskundige domein niet kon of niet mocht, kan in het fysieke domein wel, en levert niet altijd hetzelfde antwoord op. Dit zou een argument kunnen zijn tegen een oneindigheid in onze fysieke werkelijkheid.

[The Black Mathematician 82]

Wat hier van belang is dat je aan meerdere operatoren dezelfde naam geeft. Ten eerste de min operatie tussen verzamelingen die als volgt werkt: gegeven een verzameling A en een deelverzameling B van A noteren we met A-B de deelverzameling van A van alle elementen die niet in B zitten. A-B is gewoon welgedefinieerd voor alle verzamelingen A en alle deelverzamelingen B van A. Ook als A en B oneindig veel elementen bevatten.

Verder heb je de kardinaliteit van verzamelingen, dat wil zeggen de "hoeveelheid" elementen van een verzameling. Als |A| de kardinaliteit van A is, |B| van B en |A-B| die van A-B, geldt nu niet automatisch dat |A-B|=|A|-|B|, want de rechterkant is niet eenduidig gedefinieerd en verschilt per A en B. Dat laat je voorbeelden met A=gehele getallen en de verschillende keuzen van B met B=gehele getallen>100 en B=even getallen zien. Jouw voorbeeld met de boeken betreft niet deze min operatie tussen kardinale getallen, maar de min operatie tussen verzamelingen en is ook gewoon in het wiskundige domein toegestaan. Ik zie dus niet in waarom dit een argument tegen oneindigheid in onze fysieke werkelijkheid zou zijn.

NB De rekenregels met kardinale getallen hebben enige overeenkomsten met de rekenregels voor gewone getallen, maar de overeenkomsten zijn slechts gedeeltelijk. Ook met optellen.

[Nunc 0]

Wat hier van belang is dat je aan meerdere operatoren dezelfde naam geeft. Ten eerste de min operatie tussen verzamelingen die als volgt werkt: gegeven een verzameling A en een deelverzameling B van A noteren we met A-B de deelverzameling van A van alle elementen die niet in B zitten. A-B is gewoon welgedefinieerd voor alle verzamelingen A en alle deelverzamelingen B van A. Ook als A en B oneindig veel elementen bevatten.

Verder heb je de kardinaliteit van verzamelingen, dat wil zeggen de "hoeveelheid" elementen van een verzameling. Als |A| de kardinaliteit van A is, |B| van B en |A-B| die van A-B, geldt nu niet automatisch dat |A-B|=|A|-|B|, want de rechterkant is niet eenduidig gedefinieerd en verschilt per A en B. Dat laat je voorbeelden met A=gehele getallen en de verschillende keuzen van B met B=gehele getallen>100 en B=even getallen zien. Jouw voorbeeld met de boeken betreft niet deze min operatie tussen kardinale getallen, maar de min operatie tussen verzamelingen en is ook gewoon in het wiskundige domein toegestaan. Ik zie dus niet in waarom dit een argument tegen oneindigheid in onze fysieke werkelijkheid zou zijn.

NB De rekenregels met kardinale getallen hebben enige overeenkomsten met de rekenregels voor gewone getallen, maar de overeenkomsten zijn slechts gedeeltelijk. Ook met optellen.

Ik snap wat je bedoelt, maar wat je hier zegt is gewoon een herformulering van het punt dat we "evenveel" m.b.v. paren definieren, en dat dus de wiskundige notie van "oneindig" daaraan gekoppeld is, etc. en daarom "niet automatisch [geldt] dat |A-B|=|A|-|B|, want de rechterkant is niet eenduidig gedefinieerd en verschilt per A en B.". Waar het steeds om draait, is dat de wiskundige notie van "oneindig" anders is dan onze notie van getallen (omdat we het koppelen aan kardinaliteit).

[The Black Mathematician 82]

De NB was overigens niet voor jou bedoeld maar voor de eventuele meelezers.

[broer konijn 0]

Dus 2 verzamelingen zijn even groot.

Uit de ene verzameling haal ik er 1 van af. Ondanks dat blijft volgens jou toch beide verzamelingen even groot?

Ik vind ze ook even groot.

Ik dacht dat je met "ik haal er één van af" bedoelde: "ik trek 1 van een even getal af en verkrijg een oneven getal" maar dat heb ik verkeerd gelezen.

O.K. verkeerd lezen kan gebeuren' date=' maar wat betekent dat nu voor je gegeven antwoord:

sta je daar nog achter?

Dus gesteld 2 verzamelingen zijn even groot. Uit de ene verzameling haal ik er 1 van af. Beweer je dan dat toch beide verzamelingen even groot blijven ?

[b']Logica onderkennen 1[/b]

Hiermee gooi je de basale rekenregels overboord.

2 verzamelingen die even groot zijn waarbij je van de ene verzameling 1 vanaf haalt' date=' is per definitie ongelijk groot.

Als zou gelden: x + 1 = x dan krijg je: 1 = 0. Oftewel flauwekul.

Er is maar 1 manier waarop het wel kan:

Onbekend + 1 = onbekend

Maar je kunt nooit stellend dat 2 verzamelingen die beide onbekend groot zijn, gelijk groot zijn.

Want onbekend is geen getal.[/quote']

Overigens gelden die basale rekenregels niet voor oneindigheden

Als jij stelt dat de basale rekenregels overboord kunnen dan laat je het getallensysteem los.In die context is 1 + 1 niet gelijk aan 2, en in die context is 1 gelijk aan 0.

Consequentie is dat in die context er geen sprake kan zijn van bepaling van grootte. Als basale rekenregels niet gelden dan bestaat ook de grootte niet.

De oplossing is eenvoudig: oneindigheid is gewoon geen getal en het is logisch dat daarom de rekenregels niet van toepassing zijn. Lees er telkens maar voor in de plaats ‘onbekend’ of ‘onbepaald’. De grote van de 2 verzamelingen is ‘onbekend’. En ‘onbekend’ + 1 = dan nog steeds ‘onbekend’.

MAAAR:

- Het feit dat 2 verzamelingen allebei ‘onbekend’ zijn maakt ze nog niet per definitie gelijk groot.

- En ALS 2 verzamelingen met onbekende grootte gesteld worden als zijnde gelijk groot , en als je dan vervolgens van de ene verzameling 1 afhaalt, DAN is die ene verzameling toch echt wel kleiner dan de andere!

Dus zoals hierboven, hoewel een verzameling ‘onbekend’ groot is blijven de rekenregels gewoon van toepassing.

Logica onderkennen 2

Ook via een andere invalshoek kom je op hetzelfde:

we begonnen met 2 verzamelingen waarvan gesteld was dat ze even groot zijn.

Dus op dat moment zijn alle elementen van de twee verzamelingen in een een-op-een correspondentie aan elkaar koppelt. Als we bij de ene verzameling 1 eraf halen. Dan blijft per definitie een element over zonder 1-op-1 koppeling: dus ongelijk groot.

Die koppeling gaat inderdaad verloren' date=' maar dat betekent niet dat er niet een andere 1-1 koppeling gevonden kan worden tussen de ene verzameling min een element en de andere verzameling. De gedachte dat die automatisch niet kan bestaan als de oorspronkelijke koppeling verloren gaat is wel erg simplistisch[/quote']

Je maakt een bijzondere bewering. Dus algemeen gesteld:

Stelling: Als je alle elementen uit verzameling A in een een-op-een correspondentie kunt koppelen aan alle elementen van verzameling B uitgezonderd 1,

DAN is de verzameling A ongelijk groot aan verzameling B.

Jij bestrijdt dus dat deze stelling waar is??

Een aantal vragen: als je naar de niet-negatieve gehele getallen {0,1,2,3,...} kijkt, en gaat kijken naar de deelverzameling van even getallen, en naar de deelverzameling van oneven getallen. Zijn er volgens jouw logica meer of minder even getallen dan oneven getallen? Of zijn er evenveel? Waarom? En als je "mijn" methode gebruikt, waarom is dat nu wel geoorloofd?

Als je nu naar de gehele getallen {... , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} kijkt (dus negatieve getallen doen ook mee) en je van deze getallen de deelverzamelingen van even getallen respectievelijk oneven getallen. Zelfde vraag: bevatten deze deelverzamelingen evenveel elementen volgens jouw logica? Waarom?

Als je het niet erg vindt; mijn antwoord gaat denk ik afleiden van de lijn die we in deze post volgen.

[The Black Mathematician 82]

Dus 2 verzamelingen zijn even groot.

Uit de ene verzameling haal ik er 1 van af. Ondanks dat blijft volgens jou toch beide verzamelingen even groot?

Ik vind ze ook even groot.

Ik dacht dat je met "ik haal er één van af" bedoelde: "ik trek 1 van een even getal af en verkrijg een oneven getal" maar dat heb ik verkeerd gelezen.

O.K. verkeerd lezen kan gebeuren' date=' maar wat betekent dat nu voor je gegeven antwoord:

sta je daar nog achter?

Dus gesteld 2 verzamelingen zijn even groot. Uit de ene verzameling haal ik er 1 van af. Beweer je dan dat toch beide verzamelingen even groot blijven ?

[/quote']

Dat hangt van de verzamelingen af. Als ze zogeheten aftelbaar oneindig veel elementen (zoals de natuurlijke getallen) hebben blijven ze even groot (volgens de definitie van Nunc en mij) na het verwijderen van een element uit een van de verzamelingen.

Logica onderkennen 1

Hiermee gooi je de basale rekenregels overboord.

2 verzamelingen die even groot zijn waarbij je van de ene verzameling 1 vanaf haalt' date=' is per definitie ongelijk groot.

Als zou gelden: x + 1 = x dan krijg je: 1 = 0. Oftewel flauwekul.

Er is maar 1 manier waarop het wel kan:

Onbekend + 1 = onbekend

Maar je kunt nooit stellend dat 2 verzamelingen die beide onbekend groot zijn, gelijk groot zijn.

Want onbekend is geen getal.[/quote']

Overigens gelden die basale rekenregels niet voor oneindigheden

Als jij stelt dat de basale rekenregels overboord kunnen dan laat je het getallensysteem los.In die context is 1 + 1 niet gelijk aan 2, en in die context is 1 gelijk aan 0.

Nee hoor. Rekenregels verschillen per verzameling getallen waar je mee werkt. Bijvoorbeeld als we de verzameling van natuurlijke getallen {1,2,3,4,...} bekijken is aftrekken niet meer geldig, want 2-4 is een negatief getal en is dus geen natuurlijk getal. Aftrekken is wel gedefinieerd op de verzameling van gehele getallen {... -3,-2,-1,0,1,2,3,...}. Op deze verzameling is delen niet gedefinieerd, want 3/2 is geen geheel getal. Op de verzameling van breuken is delen dan weer wel gedefinieerd.

De grap van het begrip oneindig is dat het geen natuurlijk of geheel getal is. De rekenregels zijn dus iets anders dan met gehele getallen. Voor de gehele getallen blijven de rekenregels gewoon hetzelfde. Dus 1+1 is nog steeds 2.

De oplossing is eenvoudig: oneindigheid is gewoon geen getal en het is logisch dat daarom de rekenregels niet van toepassing zijn.

Geen geheel getal zou ik zeggen. Er zijn wel rekenregels van toepassing, maar niet helemaal dezelfde als voor gehele getallen.

- Het feit dat 2 verzamelingen allebei ‘onbekend’ zijn maakt ze nog niet per definitie gelijk groot.

- En ALS 2 verzamelingen met onbekende grootte gesteld worden als zijnde gelijk groot , en als je dan vervolgens van de ene verzameling 1 afhaalt, DAN is die ene verzameling toch echt wel kleiner dan de andere!

Eerste punt: klopt.

Tweede punt: niet altijd volgens de 1-1 correspondentie definitie.

Ook via een andere invalshoek kom je op hetzelfde:

we begonnen met 2 verzamelingen waarvan gesteld was dat ze even groot zijn.

Dus op dat moment zijn alle elementen van de twee verzamelingen in een een-op-een correspondentie aan elkaar koppelt. Als we bij de ene verzameling 1 eraf halen. Dan blijft per definitie een element over zonder 1-op-1 koppeling: dus ongelijk groot.

Die koppeling gaat inderdaad verloren' date=' maar dat betekent niet dat er niet een andere 1-1 koppeling gevonden kan worden tussen de ene verzameling min een element en de andere verzameling. De gedachte dat die automatisch niet kan bestaan als de oorspronkelijke koppeling verloren gaat is wel erg simplistisch[/quote']

Je maakt een bijzondere bewering. Dus algemeen gesteld:

Stelling: Als je alle elementen uit verzameling A in een een-op-een correspondentie kunt koppelen aan alle elementen van verzameling B uitgezonderd 1,

DAN is de verzameling A ongelijk groot aan verzameling B.

Jij bestrijdt dus dat deze stelling waar is??

Als je met "DAN is de verzameling A ongelijk groot aan verzameling B" bedoelt dat er geen 1-1 correspondentie bestaat tussen A en B dan zeg ik inderdaad dat die stelling niet waar is.

Als tegenvoorbeeld geef ik A= natuurlijke getallen={1,2,3,...}

B = niet negatieve gehele getallen = {0,1,2,3,...}

Haal je 0 weg uit B (wat ik noteer als B-{0} ) dan is het duidelijk dat er een 1-1 correspondentie is tussen A en B-{0}, namelijk 1 in A correspondeert met 1 in B-{0}, 2 in A correspondeert met 2 in B-{0} etc.

Voegen we 0 weer toe, dan is er nog steeds een 1-1 correspondentie te vinden tussen A en B (die wel anders is dan die tussen A en B-{0} ) namelijk 1 in A correspondeert met 0 in B, 2 in A met 1 in B, 3 in A met 2 in B etc. In het algemeen: n in A correspondeert met n-1 in B.

Een aantal vragen: als je naar de niet-negatieve gehele getallen {0,1,2,3,...} kijkt, en gaat kijken naar de deelverzameling van even getallen, en naar de deelverzameling van oneven getallen. Zijn er volgens jouw logica meer of minder even getallen dan oneven getallen? Of zijn er evenveel? Waarom? En als je "mijn" methode gebruikt, waarom is dat nu wel geoorloofd?

Als je nu naar de gehele getallen {... , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} kijkt (dus negatieve getallen doen ook mee) en je van deze getallen de deelverzamelingen van even getallen respectievelijk oneven getallen. Zelfde vraag: bevatten deze deelverzamelingen evenveel elementen volgens jouw logica? Waarom?

Als je het niet erg vindt; mijn antwoord gaat denk ik afleiden van de lijn die we in deze post volgen.

Je schrijft eerder:

Zuiver vertalen kan echter haast nooit, want je hebt niet het denkkader van de ander. Dus moet je soms meegaan in de redeneerlijn van de ander, maar dat impliceert dat je zelf ook je eigen lijn kunt kwijtraken. En zo ontstaat er een andere breuklijn bij mensen die het niet meer weten en daarom gaan ontkoppelen.

Help mij jouw denkkader beter begrijpen door die vragen te beantwoorden.

[broer konijn 0]

Ik vind ze ook even groot.

Ik dacht dat je met "ik haal er één van af" bedoelde: "ik trek 1 van een even getal af en verkrijg een oneven getal" maar dat heb ik verkeerd gelezen.

O.K. verkeerd lezen kan gebeuren, maar wat betekent dat nu voor je gegeven antwoord:

sta je daar nog achter?

Dus gesteld 2 verzamelingen zijn even groot. Uit de ene verzameling haal ik er 1 van af. Beweer je dan dat toch beide verzamelingen even groot blijven ?

Dat hangt van de verzamelingen af. Als ze zogeheten aftelbaar oneindig veel elementen (zoals de natuurlijke getallen) hebben blijven ze even groot (volgens de definitie van Nunc en mij) na het verwijderen van een element uit een van de verzamelingen.

Wij zijn het eens dat oneindig geen getal is.

Ik maak voor de wiskunde geen onderscheid tussen eindig en oneindig.

Ik reken ermee dat de wiskunde aan het begin van de reeks geldt,

en ik reken er ook mee dat de wiskunde aan het "einde" geldt tot in het oneindige;

maar zonder oneindig zelf te gaan vastpakken. Want dat kan niet.

Maar jij brengt een onderscheid aan:

Jij rekent met een grootheid in oneindigheid (even groot).

Jij rekent met ongeldigheid van wiskunde in een reeks die toevallig niet stopt.

Je verklaart 1=0 zodra je een onbekende niet geëindigde reeks hebt.

En jij loochent dat op elk gegeven moment dat je neemt richting het oneindige, jouw onlogica en jouw onwaarheid in het eindige, ook op dat ijkpunt van jou onlogisch is en onwaar.

Elk ijkpunt. Noem mij een getal. Tot in het oneindige heb je de vrijheid om een getal te noemen.

En ik ging verder en ik zei: noem mij een abstractie: stel het is gelijk, en we doen er één af.

Maar ook in abstractie in logica geef je niet thuis.

En blijf je met een bril staan met te kleine brilleglazen, die jou een scherp beeld presenteren van de aantoonbare beperkingen van je eigen bril, maar die je desondanks hanteert alsof het jouw enige zicht op waarheid kan brengen.

Dat is geen logica, en dat is geen wiskunde, en dat is geen scherp zicht,

maar dat is geloof in je bril.

Logica onderkennen 1

Hiermee gooi je de basale rekenregels overboord.

2 verzamelingen die even groot zijn waarbij je van de ene verzameling 1 vanaf haalt' date=' is per definitie ongelijk groot.

Als zou gelden: x + 1 = x dan krijg je: 1 = 0. Oftewel flauwekul.

Er is maar 1 manier waarop het wel kan:

Onbekend + 1 = onbekend

Maar je kunt nooit stellend dat 2 verzamelingen die beide onbekend groot zijn, gelijk groot zijn.

Want onbekend is geen getal.[/quote']

Overigens gelden die basale rekenregels niet voor oneindigheden

Als jij stelt dat de basale rekenregels overboord kunnen dan laat je het getallensysteem los.In die context is 1 + 1 niet gelijk aan 2, en in die context is 1 gelijk aan 0.

Nee hoor. Rekenregels verschillen per verzameling getallen waar je mee werkt. Bijvoorbeeld als we de verzameling van natuurlijke getallen {1,2,3,4,...} bekijken is aftrekken niet meer geldig, want 2-4 is een negatief getal en is dus geen natuurlijk getal. Aftrekken is wel gedefinieerd op de verzameling van gehele getallen {... -3,-2,-1,0,1,2,3,...}. Op deze verzameling is delen niet gedefinieerd, want 3/2 is geen geheel getal. Op de verzameling van breuken is delen dan weer wel gedefinieerd.

De grap van het begrip oneindig is dat het geen natuurlijk of geheel getal is. De rekenregels zijn dus iets anders dan met gehele getallen. Voor de gehele getallen blijven de rekenregels gewoon hetzelfde. Dus 1+1 is nog steeds 2.

Waarom stel jij de basale rekenregels niet als axioma van wiskunde, maar als afhankelijkheid van een verzameling? Schept een verzameling nieuwe rekenregels? Dan kun je geen enkele verzameling meer vergelijken. Dan kun je ook niet de elementen tellen. Dan kun je niet meer verzamelen.

Maar goed, laten we het bij jouw punt houden:

De grap van het begrip oneindig is dat het geen natuurlijk of geheel getal is.

Dat is niet grappig. Want jij zegt met de vasthoudendheid van een Jehovagetuige dat een oneindige verzameling een zekere grootte heeft. Namelijk gelijk aan elke andere oneindige verzameling. "Even groot" zeg je. En dan kan er veel of weinig worden toe of afgedaan, dan kan er logisch worden benaderd, dan kan er wiskundig worden gerekend met vermindering in getal of vermindering in functie, maar jij blijft zeggen in eenheid van geloof in trouw aan het gezag waaronder jij je hebt gesteld: Twee verzamelingen "zijn gelijk" in het oneindige.

Maar die stelling is bewijsbaar onjuist, omdat je geen einde kunt formuleren.

Niet concreet. Niet abstract. Niet wiskundig. Want dat einde is er niet.

Als dan dat einde er niet is dan kun je er niet mee rekenen.

Dus kun je niet rekenen met een gelijkheid.

Dus kun je ook niet rekenen met verschillen in het begin alsof die in het oneindige wegvallen.

Dat kan niet want de verschillen vallen niet weg. Nooit. Tot in de oneindigheid niet.

Wel worden de verschillen soms oneindig klein. Maar soms worden ze oneindig groot. En soms blijven ze gelijk dat hangt er maar van af wat er aan toe- of afdoet.

Het moet worden gezegd: Oneindigheid formuleren als "even groot" met andere oneindigheden, om daarmee bewijsbare ongelijkheden te verwaarlozen, is niet een wiskundig begrip, maar onwiskundige prietpraat.

De oplossing is eenvoudig: oneindigheid is gewoon geen getal en het is logisch dat daarom de rekenregels niet van toepassing zijn.

Geen geheel getal zou ik zeggen. Er zijn wel rekenregels van toepassing, maar niet helemaal dezelfde als voor gehele getallen.

- Het feit dat 2 verzamelingen allebei ‘onbekend’ zijn maakt ze nog niet per definitie gelijk groot.

- En ALS 2 verzamelingen met onbekende grootte gesteld worden als zijnde gelijk groot , en als je dan vervolgens van de ene verzameling 1 afhaalt, DAN is die ene verzameling toch echt wel kleiner dan de andere!

Eerste punt: klopt.

Tweede punt: niet altijd volgens de 1-1 correspondentie definitie.

Jij stelt dus:

Volgens de 1-1 correspondentie definitie worden verzamelingen met onbekende grootte

gesteld als zijnde gelijk groot. Dat geldt zelfs als je vervolgens van de ene verzameling 1 afhaalt. DAN is die ene verzameling echt niet kleiner geworden dan de andere.

Daar komen we op terug.

Maar nu even vastleggen: Erken je dat "gelijk groot" in jouw correspondentie-definitie ongelijk groot is in elke empirische realiteit en ook in de wiskundige berekenbaarheid en ook in de wiskundige benaderbaarheid en ook in de logische trivialiteit dat er in het oneindige principieel niets verandert omdat er nog steeds geen einde is?!?

Ook via een andere invalshoek kom je op hetzelfde:

we begonnen met 2 verzamelingen waarvan gesteld was dat ze even groot zijn.

Dus op dat moment zijn alle elementen van de twee verzamelingen in een een-op-een correspondentie aan elkaar koppelt. Als we bij de ene verzameling 1 eraf halen. Dan blijft per definitie een element over zonder 1-op-1 koppeling: dus ongelijk groot.

Die koppeling gaat inderdaad verloren' date=' maar dat betekent niet dat er niet een andere 1-1 koppeling gevonden kan worden tussen de ene verzameling min een element en de andere verzameling. De gedachte dat die automatisch niet kan bestaan als de oorspronkelijke koppeling verloren gaat is wel erg simplistisch[/quote']

Je maakt een bijzondere bewering. Dus algemeen gesteld:

Stelling: Als je alle elementen uit verzameling A in een een-op-een correspondentie kunt koppelen aan alle elementen van verzameling B uitgezonderd 1,

DAN is de verzameling A ongelijk groot aan verzameling B.

Jij bestrijdt dus dat deze stelling waar is??

Als je met "DAN is de verzameling A ongelijk groot aan verzameling B" bedoelt dat er geen 1-1 correspondentie bestaat tussen A en B dan zeg ik inderdaad dat die stelling niet waar is.

Als tegenvoorbeeld geef ik A= natuurlijke getallen={1,2,3,...}

B = niet negatieve gehele getallen = {0,1,2,3,...}

Haal je 0 weg uit B (wat ik noteer als B-{0} ) dan is het duidelijk dat er een 1-1 correspondentie is tussen A en B-{0}, namelijk 1 in A correspondeert met 1 in B-{0}, 2 in A correspondeert met 2 in B-{0} etc.

Voegen we 0 weer toe, dan is er nog steeds een 1-1 correspondentie te vinden tussen A en B (die wel anders is dan die tussen A en B-{0} ) namelijk 1 in A correspondeert met 0 in B, 2 in A met 1 in B, 3 in A met 2 in B etc. In het algemeen: n in A correspondeert met n-1 in B.

Het gaat niet om wat ik bedoel, maar om wat het volgens jou in redelijkheid en logica is. En dat is wel de kern van je oneindigheidsspeeltje: wat je mist aan het begin haal je er in de verte gewoon weer bij. Maar dat geeft per definitie aan dat de oneindigheid geen gelijkheid heeft, maar een ongelijkheid, namelijk een ongelijkheid die oneindig groot is. Want ze zijn nooit gelijk. Wat jij hier zit te doen is rekenen met de oneindigheid alsof die er nog wel eentje kan missen om te koppelen wat je er in het begin uithaalt. Dat is geen spreken over een oneindigheid, maar dat is gewoon de ogen stijf dichtknijpen omdat je niet wilt weten wat er precies aan de kant van het oneindige gebeurt. Je hanteert binnen termen van onmeetbaarheid een kunstig verzonnen bouwwerk dat je overeind houdt, in de wetenschap en onder concrete argumentatie dat dat bouwwerk wordt aangepast aan de omstandigheden. Het bouwwerk schuift bewijsbaar op. Maar dan is dat bouwwerk per definitie niet hetzelfde als de reeks waarlangs hij wordt opgeschoven.

Maar met een stalen gezicht verdedig je dan vervolgens dat elke koppeling tot in het oneindige een naastgelegen natuurlijk getal vindt om weer een gelijkheid te gaan vormen. Daarmee zeg je knalhard dat die gelijkheid er niet is en aan de oneindigheid één concreet element wiskundig bewijsbaar wordt opgeteld (+1) om met één element te worden opgerekt voorbij de gelijkheid die jij hebt gedefinieerd in jouw van de realiteit en van de wiskunde ontkoppelde denkwereld.

Maar als je erkent dat je een naastgelegen element nodig hebt om je koppeling te kunnen blijven maken, dan heb je zelf het bewijs geleverd voor de onhoudbaarheid van jouw oneindigheidsbegrip.

Een aantal vragen: als je naar de niet-negatieve gehele getallen {0,1,2,3,...} kijkt, en gaat kijken naar de deelverzameling van even getallen, en naar de deelverzameling van oneven getallen. Zijn er volgens jouw logica meer of minder even getallen dan oneven getallen? Of zijn er evenveel? Waarom? En als je "mijn" methode gebruikt, waarom is dat nu wel geoorloofd?

Als je nu naar de gehele getallen {... , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} kijkt (dus negatieve getallen doen ook mee) en je van deze getallen de deelverzamelingen van even getallen respectievelijk oneven getallen. Zelfde vraag: bevatten deze deelverzamelingen evenveel elementen volgens jouw logica? Waarom?

Als je het niet erg vindt; mijn antwoord gaat denk ik afleiden van de lijn die we in deze post volgen.

Je schrijft eerder:

Zuiver vertalen kan echter haast nooit, want je hebt niet het denkkader van de ander. Dus moet je soms meegaan in de redeneerlijn van de ander, maar dat impliceert dat je zelf ook je eigen lijn kunt kwijtraken. En zo ontstaat er een andere breuklijn bij mensen die het niet meer weten en daarom gaan ontkoppelen.

Help mij jouw denkkader beter begrijpen door die vragen te beantwoorden.

Wiskunde bouwt op axioma's. Wanneer je merkt dat de wiskunde niet werkt is er iets aan de hand met je axioma's of met de omgeving waarin je werkt. Een onderzoeker onderzoekt dat.

De wiskunde berekent met mathematische zuiverheid wat er wiskundig wordt gedaan, en de wiskunde laat niet wiskundige elementen of factoren liggen voor de honden en de goden om deze in afdanking of in geloof ergens een plekje te geven. De wiskunde beredeneert en formuleert. Het gaat er dus bij een deelverzameling om, om te formuleren wat in de eindigheid geldt, en dan na te denken over een schrijfwijze hoe je dat doet in termen van oneindigheid. De voorstelling van een bol met gebruikmaking van sin/cos/tan is niet zo'n rare gedachte. Ook een limiet geeft een beheersbaarheid van oneindigheid door een relatie eraan toe te kennen. Dat is dan een constructie net zoals de koppelingsconstructie van jou, maar het moet wel een constructie zijn die de wiskunde en de logica en alle empirische navolgbaarheden respecteert.

Jouw koppeltheorie rust slechts op één logische grond: "noem een element en ik noem je een ander". Dat is geen wiskunde maar filosofie. Een drogreden. Dat is gewoon expres stoppen met tellen, en dat stelselmatig tot in het ridicule vasthouden, omdat je weet dat tellen niet klopt, maar in de oneindigheid voldoende ruimte is om al je tekorten aan te vullen.

Het "is-gelijk-teken" uit jouw theorie is derhalve onzin. Maar je rekent met dit gelijkteken als axioma, om zo alle bewijsbare verschillen aan het begin met elkaar gelijk te stellen. En daar aan het begin accepteer je dat substantiële zaken worden toegevoegd of afgenomen naar willekeur omdat het ergens in het oneindige gelijkmakers heeft.

Man; je moet bankier worden,

of gelovige...

[The Black Mathematician 82]

Wij zijn het eens dat oneindig geen getal is.

Geen natuurlijk getal. Dat is iets anders dan zeggen dat het geen getal is.

Ik maak voor de wiskunde geen onderscheid tussen eindig en oneindig.

De hele wiskundige gemeenschap maakt dat onderscheid wel.

Je verklaart 1=0 zodra je een onbekende niet geëindigde reeks hebt.

Onzin, je legt me woorden in de mond die ik niet gezegd heb.

Waarom stel jij de basale rekenregels niet als axioma van wiskunde, maar als afhankelijkheid van een verzameling? Schept een verzameling nieuwe rekenregels? Dan kun je geen enkele verzameling meer vergelijken. Dan kun je ook niet de elementen tellen. Dan kun je niet meer verzamelen.

De grondslag voor wiskunde wordt niet door de rekenkunde gegeven maar door de verzamelingenleer. Welke rekenregels gelden hangt inderdaad af per verzameling waar je mee werkt. Rekenkundige regels zijn geen axioma's in de moderne wiskunde. Het kan inderdaad voorkomen dat je twee verzamelingen hebt die verzamelingtechnisch (dwz in termen van een 1-1 correspondentie) even groot zijn, maar waar de ene een andere algebraische structuur heeft vergeleken met de ander. Verzamelingtechnisch gezien zijn de verzamelingen gelijk. Algebraisch gezien niet. Overigens is het dan mogelijk op een van de twee verzamelingen een nieuwe algebraische structuur definieren die verschillend is van de oorspronkelijke, maar die er wel voor zorgt dat beide verzamelingen ook in algebraisch opzicht hetzelfde zijn.

Dat is niet grappig. Want jij zegt met de vasthoudendheid van een Jehovagetuige dat een oneindige verzameling een zekere grootte heeft.

Moet ik dit als een ad hominem zien?

De oplossing is eenvoudig: oneindigheid is gewoon geen getal en het is logisch dat daarom de rekenregels niet van toepassing zijn.

Geen geheel getal zou ik zeggen. Er zijn wel rekenregels van toepassing, maar niet helemaal dezelfde als voor gehele getallen.

- Het feit dat 2 verzamelingen allebei ‘onbekend’ zijn maakt ze nog niet per definitie gelijk groot.

- En ALS 2 verzamelingen met onbekende grootte gesteld worden als zijnde gelijk groot , en als je dan vervolgens van de ene verzameling 1 afhaalt, DAN is die ene verzameling toch echt wel kleiner dan de andere!

Eerste punt: klopt.

Tweede punt: niet altijd volgens de 1-1 correspondentie definitie.

Jij stelt dus:

Volgens de 1-1 correspondentie definitie worden verzamelingen met onbekende grootte

gesteld als zijnde gelijk groot. Dat geldt zelfs als je vervolgens van de ene verzameling 1 afhaalt. DAN is die ene verzameling echt niet kleiner geworden dan de andere.

Daar komen we op terug.

Logica onderkennen

Ik zeg dat als twee verzamelingen volgens een 1-1 correspondentie even groot zijn het niet altijd zo is dat ze ongelijke grootte hebben (weer volgens 1-1 correspondentie definitie) als je uit de andere een punt weghaalt.

Dit is iets heel anders dan zeggen dat alle verzamelingen die oneindig zijn even groot zijn!

Vergelijk: als ik zeg dat ik het niet eens ben met de uitspraak "alle zoogdieren zijn levendbaren" (omdat het vogelbekdier een zoogdier is dat niet levendbarend is, maar eieren legt) betekent dit niet dat ik zeg: "alle zoogdieren leggen eieren".

Dit is heel erg basale logische fout waarvan ik het wel erg vreemd vind dat je die maakt daar gezien je gehamer op de zogenaamde logische fouten van Nunc en mij.

Een aantal vragen: als je naar de niet-negatieve gehele getallen {0,1,2,3,...} kijkt, en gaat kijken naar de deelverzameling van even getallen, en naar de deelverzameling van oneven getallen. Zijn er volgens jouw logica meer of minder even getallen dan oneven getallen? Of zijn er evenveel? Waarom? En als je "mijn" methode gebruikt, waarom is dat nu wel geoorloofd?

Als je nu naar de gehele getallen {... , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} kijkt (dus negatieve getallen doen ook mee) en je van deze getallen de deelverzamelingen van even getallen respectievelijk oneven getallen. Zelfde vraag: bevatten deze deelverzamelingen evenveel elementen volgens jouw logica? Waarom?

Als je het niet erg vindt; mijn antwoord gaat denk ik afleiden van de lijn die we in deze post volgen.

Je schrijft eerder:

Help mij jouw denkkader beter begrijpen door die vragen te beantwoorden.

[...]Man; je moet bankier worden,

of gelovige...

Ik vraag je om een vraag te beantwoorden en ik krijg nog een ad hominem om de oren.

[broer konijn 0]

Je verklaart 1=0 zodra je een onbekende niet geëindigde reeks hebt.

Onzin, je legt me woorden in de mond die ik niet gezegd heb.

Ik stel het wat scherper dan jij zult herkennen als komend van jou,

maar bedoel je echt te zeggen dat wat ik zeg inhoudelijk onzin is?

Dat is niet grappig. Want jij zegt met de vasthoudendheid van een Jehovagetuige dat een oneindige verzameling een zekere grootte heeft.

Moet ik dit als een ad hominem zien?

Zeker niet. De ad hominem zou uitsluitend richting "de Jehovagetuige" kunnen gelden. Immers ik bestempel niet jouw hele gedrag als zodanig. De "Jehovagetuige" krijgt het echter als typerende stempel opgeplakt. Maar ik vertrouw dat hier niet een Jehovagetuige is die zich zodanig niet herkent in wat ik als typering breng, dat hij er aanstoot aan zou nemen. Ergens zijn ze er een beetje trots op, en zullen ze niet nalaten het te noemen als voorbeeld voor hun wapening en toerusting.

Inhoudelijk vind ik het belangrijk om een link te leggen met het geloof - als dat een geldige link is - want zonder die link is deze discussie minder waardevol. Inhoudelijk vind ik dat je inderdaad getuigt van een paradigma waarin je als het ware gevangen zit.

Natuurlijk vanuit mijn perspectief bezien. Omgekeerd geldt dat voor mij vanuit jouw perspectief. Wat grappig is waardoor het speelveld haast een arena wordt, is dat we "logica" als zwaard hanteren om elkaar te bestrijden.

Ik zeg dat als twee verzamelingen volgens een 1-1 correspondentie even groot zijn het niet altijd zo is dat ze ongelijke grootte hebben (weer volgens 1-1 correspondentie definitie) als je uit de andere een punt weghaalt.

Dit is iets heel anders dan zeggen dat alle verzamelingen die oneindig zijn even groot zijn!

Sorry. Ik dacht dat we het station van gelijkheid in oneindigheid al waren gepasseerd.

Daar moeten we dan een stapje terug doen, om elkaar niet te vroeg te verliezen.

[...]Man; je moet bankier worden,

of gelovige...

Ik vraag je om een vraag te beantwoorden en ik krijg nog een ad hominem om de oren.

Mijn afsluitende woorden steunen op hetgeen ervoor staat. Dat was een antwoord. Als het antwoord niet landt, dan ook de afsluiting niet. Ik vond de parallel wel grappig toepasselijk, maar als jij dat anders ziet, dan spijt mij dat. Vanzelfsprekend gaat het niet over jou. Ik spreek toch via jou met heel de wiskunde-wereld?! Dan hoef jij je niet aangevallen te voelen, en dan mag ik mij wel enige zelfspot veroorloven, of liever en toepasselijker: spot met die wereld. Dat is legitiem mits de spot niet vals wordt, en terecht is. Ja toch, niet dan!?

[The Black Mathematician 82]

Goed, ik ben er wel klaar mee. Niet vanwege eventuele ad hominems, maar omdat ik het idee heb dat we geen stap opschieten. Allebei niet.

[MysticNetherlands 298]

Ik spreek toch via jou met heel de wiskunde-wereld?!

Dit komt ook nogal spottend over broer konijn...

[broer konijn 0]

Goed, ik ben er wel klaar mee. Niet vanwege eventuele ad hominems, maar omdat ik het idee heb dat we geen stap opschieten. Allebei niet.

Ik begrijp je sentiment. Het moet ook gezegd zijn dat je bij je eerdere reacties heel zuiver je focus op het onderwerp hebt gehouden, terwijl ik echt wel aanleiding gaf om er van af te wijken. Dan verdien je ook niet dat ik van het onderwerp afwijk.

Laat ik toch even nog wat kernpunten benoemen in de rebound, ad rem, tene quod bene:

@ Rekenregels:

Als jij stelt dat de basale rekenregels overboord kunnen dan laat je het getallensysteem los.In die context is 1 + 1 niet gelijk aan 2' date=' en in die context is 1 gelijk aan 0.[/quote'] Nee hoor. Rekenregels verschillen per verzameling getallen waar je mee werkt.

Bijvoorbeeld als we de verzameling van natuurlijke getallen {1,2,3,4,...} bekijken is aftrekken niet meer geldig, want 2-4 is een negatief getal en is dus geen natuurlijk getal.

Ik volg je niet. Ja, 2-4 =-2 . En -2 is een negatief getal en geen natuurlijk getal. Dus -2 is geen element van de verzameling natuurlijke getallen. Dus? Waarom zou je dan niet kunnen aftrekken?

Die verzameling verminderen met 4 elementen is mogelijk dat wordt bijvoorbeeld: {5,6,7,8,...}

Aftrekken is wel gedefinieerd op de verzameling van gehele getallen {... -3,-2,-1,0,1,2,3,...}.

Wat bedoel je met “aftrekken op een verzamelingâ€, ik neem aan het aantal elementen verminderen met 4. En dat is mogelijk ongeacht of de reeks wel of niet negatief is….

@ grootte van een verzameling:

De grap van het begrip oneindig is dat het geen natuurlijk of geheel getal is. De rekenregels zijn dus iets anders dan met gehele getallen. Voor de gehele getallen blijven de rekenregels gewoon hetzelfde. Dus 1+1 is nog steeds 2.

Oneindig is überhaupt geen getal, het is een concept.

Het is net zo min een getal als dat ‘veel’ een getal zou zijn.

En als het geen getal is kun je er ook niet een getal bij optellen of er de grootte van bepalen.

Fuitmand + 1 kan niet. En ‘onbekend’ + 1 is nog steeds iets onbepaald . Of ‘veel’ + 1 is nog steeds ‘veel’.

Maar aangezien je meent dat in die context de rekenregels niet meer gelden ( c.q. ‘iets anders zijn’), dan kan als consequentie in dat verband ook geen sprake meer zijn van bepaling van de grootte ( c.q. bepaling van grootte is dan ‘iets anders’).

Dus de consequentie van je gebruikte definitie is dat je dan niet de grootte kunt bepalen of vergelijken. ( of net zo zinnig als het vergelijken de grootte van 2 ‘erg grote’ verzamelingen, of 2 verzamelingen van ‘onbekende grootte’).

@ Correspondentie-(koppel)-bepaalde-grootte :

Stelling: Als je alle elementen uit verzameling A in een een-op-een correspondentie kunt koppelen aan alle elementen van verzameling B uitgezonderd 1' date='

DAN is de verzameling A ongelijk groot aan verzameling B.

Jij bestrijdt dus dat deze stelling waar is??

[/quote']

Als je met "DAN is de verzameling A ongelijk groot aan verzameling B" bedoelt dat er geen 1-1 correspondentie bestaat tussen A en B dan zeg ik inderdaad dat die stelling niet waar is.

Om precies te zijn bedoel ik datgene wat ik schreef:

Als je alle elementen uit verzameling A in een een-op-een correspondentie kunt koppelen aan alle elementen van verzameling B uitgezonderd 1,

DAN is de verzameling A ongelijk groot aan verzameling B.

En jij beweert dat deze stelling niet waar is.

Omdat plaatjes meer zeggen dan woorden:

Dus alle elementen uit verzameling A zijn in een een-op-een correspondentie te koppelen aan alle elementen van verzameling B uitgezonderd 1.

In het plaatje zijn er 4 koppels getekend maar dat kunnen er ook veel meer zijn (aantal is onbepaald), maar altijd in koppels! ( want we begonnen met 2 gelijke verzamelingen waarbij in 1 verzameling er eentje was afgedaan of bijgedaan)

Maar nu stel jij dat het mogelijk is om een andere 1 op 1 koppeling mogelijk is maar dan zonder dat er 1 overblijft. En dat daarom verzameling A mogelijk even groot kan zijn als verzameling B.

Als je een andere koppeling zou proberen, kan dat alleen maar door een bestaande koppeling eerst te ontkoppelen en dan kun je de losse ( in het plaatje nr. 5) weliswaar koppelen, maar dan blijft er door de ontkoppelde bestaande koppeling per definitie een andere los element over die was ontkoppeld, en derhalve nog niet weer gekoppeld is.

Hergroepering van de koppels lost het probleem van het losse element dus niet op:

dat probleem blijft bestaan.

De verzamelingen blijven ongelijk groot.

En dit is een sluitende bewering.

@ Bewijsvoering:

Dan over je tegen bewijs.

Als tegenvoorbeeld geef ik A= natuurlijke getallen={1,2,3,...}

B = niet negatieve gehele getallen = {0,1,2,3,...}

Haal je 0 weg uit B (wat ik noteer als B-{0} ) dan is het duidelijk dat er een 1-1 correspondentie is tussen A en B-{0}, namelijk 1 in A correspondeert met 1 in B-{0}, 2 in A correspondeert met 2 in B-{0} etc.

Voegen we 0 weer toe, dan is er nog steeds een 1-1 correspondentie te vinden tussen A en B (die wel anders is dan die tussen A en B-{0} ) namelijk 1 in A correspondeert met 0 in B, 2 in A met 1 in B, 3 in A met 2 in B etc. In het algemeen: n in A correspondeert met n-1 in B.

A= natuurlijke getallen={1,2,3,...}

B = niet negatieve gehele getallen = {0,1,2,3,...}

Jij stelt dat A en B gelijk groot omdat ze te matchen zijn via n -> n-1

Dus kijken we naar de grootte dan stel je:

A + 1 = B

En ook: A = B, dus A + 0 = B

Dus dan heb je 2 vergelijkingen die jij allebei tegelijkertijd als waar beschouwt:

A + 1 = B

A + 0 = B

Maar ik zeg dat onwaar is om te stellen dat A en B gelijk groot zijn.

A en B hebben helemaal geen grootte dus kun je ze ook niet vergelijken.

Bewijs: Als A en B wel een grootte zou hebben dan zouden ze ieder of een even aantal elementen hebben of een oneven aantal.

ALS A en B ieder een even aantal elementen bevat dan zou A +1 een oneven aantal opleveren. En een oneven aantal is nooit gelijk aan een even aantal. Dus A ongelijk aan B.

Evenzo ALS A en B ieder een oneven aantal elementen bevat dan zou A +1 een even aantal opleveren. En een even aantal is nooit gelijk aan een oneven aantal. Dus A ongelijk aan B.

@ waar hebben we het over - inzichtelijkheid:

En slechts ter illustratie om inzichtelijk te maken hoe een koppeling gebruik maakt van onderliggende reeksen ( niet als bewijs! ) : Zie het onderstaande plaatje.

De bovenste horizontale lijn is langer dan het onderstaande, toch?

Want het blauwe gedeelte is gelijk met onderliggende lijn want die is met een reeks te koppelen. Maar de bovenste lijn heeft nog iets extra’s buiten de volgens de koppeling geldende correspondentie-gelijkheid.

Logisch kun je inzichtelijk maken dat een koppeling atijd te maken is. Maar dat is geen rust waarin wij ons als gearriveerd mogen beschouwen, want daarmee stopt de wiskundige logica over het aantal elementen niet: er is nog een weg te gaan.

Want evenzo logisch is in te zien dat een verandering in het aantal elementen van een verzameling leidt tot een verschuiving, waardoor er structureel een tekort/overschot ontstaat, waardoor alle bestaande koppels, ontkoppeld moeten worden en beslag moeten leggen op een nog niet benoemd of gedefinieerd, naastgelegen element.