Mathematische notatie van de Triniteit

[Nunc 0]

Een poging tot uitleg (...)

Misschien wil jij ook nog iets zeggen over het tegenvoorbeeld van x/2 dat eerder opgeworpen werd?

[Nunc 0]

En dan zal ik inderdaad naar al die logici en wiskundigen (alle van de afgelopen 100+ jaar) moeten wijzen. Maar het staat je vrij om zelf even een universiteit op te bellen of een email te sturen naar willekeurig welke wiskunde docent op een VWO.

Ik werk als wiskundige op een universiteit en ik beaam dat de verzameling van even getallen dezelfde hoeveelheid elementen heeft als de verzameling gehele getallen. Maar ik had in mijn vorige post ook vier links naar wiskundeboeken op google maps gegeven waar precies hetzelfde wordt gezegd. Je hoeft alleen maar op de link te klikken en je komt al op de juiste pagina uit.

boeken op google maps? Wat voor vreemde mapping van boeken naar locaties is dat?

[The Black Mathematician 82]

Ik zal je nog eens helpen.

Een poging tot uitleg (...)

Misschien wil jij ook nog iets zeggen over het tegenvoorbeeld van x/2 dat eerder opgeworpen werd?

En dat ga ik nog doen ook. In dat "tegenvoorbeeld" vergelijkt hij eindige deelverzamelingen van de natuurlijke getallen met eindige deelverzamelingen van de even getallen, niet de verzamelingen van natuurlijke en even getallen zelf. Logisch dat het dan mis gaat.

Een vergelijkbare foutieve redenatie: aanschouw de verzamelingen {1,2,3,4} en {a,b,c,d}. Nu {1,2,3} en {a,b} hebben niet evenveel elementen, dus moeten {1,2,3,4} en {a,b,c,d} ook een verschillende hoeveelheid elementen bevatten.

[broer konijn 0]

(ik zie dat er alweer meer gepost is - daarover later)

Misschien een beetje inbinden, en accepteren dat je er qua logica gewoon naast zit?

Wat ik geschreven heb een beetje inbinden is een goed idee. Logica bestond niet maar is per ongeluk gevonden op een forum. De logica zit ik niet naast, maar bovenop. En daar ga ik niet vanaf zonder logische argumenten.

Ik ga nu nog niet herhalen, maar ik zal gewoon een beetje doorduwen. Misschien dat je mij het licht kunt laten zien.

Stel dat je drie verzamelingen hebt die even groot zijn.

Jouw drie verzamelingen.

En we gaan er nu elementen uit halen.

Vraag: zijn die verzamelingen wiskundig gezien nog even groot?

Waar precies ligt de grens dat het uit gaat maken?

Maakt het uit dat we er oneindig veel eruithalen?

Realiseer je je dat als je een term toevoegt deze term een eigen oneindigheidswaarde kan hebben, zoals bijvoorbeeld niet 2n zoals jij als voorbeeld gaf, maar bijvoorbeeld 2n-n)

Of een ander voorbeeld in woorden zodat mensen met logsiche moeiten zoals ik het ook kunnen volgen, en we gaan formuleren zoals jij doet met je dubbels, waarbij er steeds een helft mist. Die helft die mist wordt steeds groter. Oneindig groter.

Zijn we het dan eens dat oneindig "minus" oneindig een oneindig groot verschil oplevert?

Wat precies maakt dat jouw oneindig in één term het wint van de oneindigheid in de andere term?

Ik geef nog een getallenvoorbeeld:

We nemen de verzamelingen 0 >> oneindig en 0 >> minus oneindig (oneindig in de andere richting.) Jij staat op punt nul. En je kijkt de ene kant op: oneindg ver. En je zegt: wow man, dát is vér !!

En dan kijk je de andere kant op: oneindig ver, en je ziet en je zegt: Wow man, dát is vér !!

En dan zeg ik: jahaa, héél ver. Oneindig naar de ene kant en oneindig naar de andere kant. Oneindig beide kanten op dat is oneindig en die twee verschillende verzamelingen zijn even groot. En let op: opgeteld zijn ze ook even groot. Spannend hè?!

Beetje tegen-intuïtief maar wel echt logisch hoor!

Je kijkt nog eens om, naar de eerste kant,En dan weer terug naar de andere kant. En dan zeg je: ben ik nou gek of heb ik nu een oneindigheid gemist?

En dan zeg ik: je moest eens weten. Er is geen enkel wiskundeboek te vinden waar deze ongelijkheden niet gelijk zijn. Want je kunt aan elke n een -n koppelen. Noem eens een getal waarbij het niet kan, zeg ik nog.

En dan zeg je dat ik op moet houden, en niet getallen moet koppelen maar steekjes, en dat ík eens logisch moet leren denken.

Zei je dat laatste maar...

Maar elk kind dat kan tellen, weet dat je bij het tellen geen getallen moet overslaan, want dan wordt je telling ongelijk. Dat dat in het oneindige verwaarloosbaar wordt, is geen excuus on het gelijk te stellen, want dat is het nooit.

Schiet mijn logica maar lek !

[The Black Mathematician 82]

Stel dat je drie verzamelingen hebt die even groot zijn.

Jouw drie verzamelingen.

En we gaan er nu elementen uit halen.

Vraag: zijn die verzamelingen wiskundig gezien nog even groot?

Als je er hetzelfde eindige aantal elementen uit haalt wel.

Waar precies ligt de grens dat het uit gaat maken?

Maakt het uit dat we er oneindig veel eruithalen?

Die grens ligt bij oneindigheid. Als je oneindig veel elementen eruit haalt kan het mis gaan. Dit heeft te maken met dat oneindig min oneindig onbepaald is (net als nul gedeeld door nul).

[broer konijn 0]

Een poging tot uitleg voor Broer Konijn.

Bedankt voor je inhoudelijke bijdrage. Dat wordt zeer gewaardeerd.

Als we naar twee verzamelingen kijken {1,2,3} en {a,b,c,d}. Welke heeft dan de meeste elementen? Dat is dus de tweede, want je kan een functie verzinnen zodanig dat aan elk element van de eerste verzameling een uniek element van de tweede gekoppeld wordt, terwijl dat omgekeerd niet kan. Bijvoorbeeld f(1)=a, f(2)=b, f(3)=c. Omgekeerd kan dat niet, we kunnen bijvoorbeeld g(a)=1, g(=2 en g©=3 definiëren, maar als we een waarde voor g(d) willen verzinnen, dan kunnen we geen uniek element meer gebruiken, want alle elementen uit de eerste verzameling zijn al gebruikt. De eerste verzameling is dus kleiner.

Stel nu dat we naar de verzamelingen {1,2,3,4} en {a,b,c,d} kijken, dan zijn beide verzamelingen wel even groot omdat we een functie kunnen verzinnen van de eerste verzameling naar de tweede die aan elk element van de eerste verzameling een uniek element van de tweede toekent, maar ook andersom: we kunnen een functie van de tweede verzameling naar de eerste verzinnen die aan elk element van de tweede verzameling een uniek element van de eerste toekent. Volgorde hoe de elementen aan elkaar gekoppeld worden is niet belangrijk, alleen maar dat aan elk element van de ene verzameling een uniek element van de andere gekoppeld wordt.

Neem bijvoorbeeld als functie van de eerste naar de tweede f(1)=a, f(2)=c, f(3)=b, f(4)=d en andersom van de tweede naar de eerste g(a)=4, g(=3, g©=2, g(d)=1.

Voor eindige verzamelingen geldt: als je twee verzamelingen hebt waarvoor er zowel zo'n functie van de eerste naar de tweede als een functie van de tweede verzameling naar de eerste is, dan hebben beide verzamelingen even veel elementen. Als er van de eerste verzameling naar de tweede zo'n functie is, maar niet omgekeerd, dan heeft de eerste verzameling minder elementen dan de tweede.

Vandaar dat men dit als definitie voor "hetzelfde aantal elementen" heeft gekozen. Voor oneindige verzamelingen kan nu wel ineens gelden dat een echte deelverzameling van een andere verzameling evenveel elementen heeft.

Dit is een absolute denkfout met een drogredengehalte van de allerhoogste orde. Elke meelezer en schoudermeekijker kan dat nagaan.

Want: De truc om ongelijkheden gelijk te stellen is dat je voor elk getal een ander getal kunt vinden. De truc is PUUR en UITSLUITEND dat je kunt zeggen: voor elk getal kan ik een ander vinden. Dus ze zijn gelijk (in aantal). Maar de kardinale FOUT is dat je dat toepast op het oneindige. "Oneindig" wordt gedefinieerd als iets waar je echt niet bijkunt. Als je er niet bijkunt dan kun je OOK NIET een getal bij een ander getal noemen. Want het eerste getal kon je ook al niet nomen. Want immers je bent in het oneindige. En oneindig is iets waar we niet bij kunnen. Als je dan niet eens bij het eerste getal kunt komen waarmee je vergelijken kunt, hoe kun je dan een tweede getal vinden??

DAT IS LOGISCH ONMOGELIJK

Wat je feitelijk doet is gewoon rekenen alsof we het over bestaande getallen hebben (wat mij werd verweten), en tussen het eerste bestaande getal in je vergelijking en het tweede koppelgetal, stel je dat er een grens ligt met het oneindige. Maar die grens bestaat niet omdat (volgens je eigen definitie) oneindig niet te beschouwen is als een bestaand getal. Dus je zit gewoon ordinair onbestaande appels met onbestaande peren te vergelijken., Logisch dat die gelijk zijn. Dat is knollen voor citroenen verkopen. Want je vergelijking doet net alsof de eerste getallen die je wilt gaan vergelijken bestaande getallen zijn. Maar dat is niet zo.

De enige logische conclusie is dat die prachtige vergelijking van jullie leuk is voor bestaande getallen, maar in de oneindigheid gewoon helemaal nergens over gaat, ergo: nergens op slaat. Schiet mij ook maar lek.

Bekijk bijvoorbeeld de verzameling van de even getallen {2,4,6,8,10, ...} en de verzameling van natuurlijke getallen {1,2,3,4,5, ... } waar de drie puntjes voor "etc" staat. De eerste is een echte deelverzameling van de tweede, want {1,3,5,...} staan er niet in. We kunnen een functie verzinnen die aan elk even getal een uniek natuurlijk getal toekent, neem bijvoorbeeld f(2)=2, f(4)=4, f(6)=6, etc.

Maar andersom is dat ook mogelijk: neem bijvoorbeeld g(1)=2, g(2)=4, g(3)=6, etc. Conclusie is dus dat beide verzamelingen evenveel elementen hebben. Tegenintuitief maar wel waar als je deze definitie van "het aantal elementen" hanteert. In de praktijk hanteert elke wiskundige deze definitie.

Hoe kun je dat nu betrekken op oneindigheid ?????? Je trekt je vergelijking vanuit het eindige door zonder een aarzeling, terwijl je weet dat er een scheidslijn is tussen eindig en oneindig. En die scheidslijn is niet wiskundig, maar die is in je eigen beperkingen: je bent te lui om zover te tellen.

Overigens is het wel heel goed dat je er inhoudelijk op inging. Ik zie nu dat de logische fout niet één is, maar twee zijn, Want niet alleen betrek je op het oneindige wat eindig is. Maar ook haal je een grap uit. Je gooit er een tel-handicap in om elk getal met zichzelf te vergelijken (je geeft een relatie aan), zonder het uit te spreken. En die relatie gebruik je als sleutel om de deur naar de oneindigheid te openen. Maar het is gewoon tellen met een handicap.

Stel: De jaarfeesten bij wiskunde hebben een jaarlijks hoogtepunt. Er is 1000 euro. Uit het entreegeld. En een ontelbare menigte personen. Ze gaan wetenschappelijk verdelen, dus wordt gezegd: we gaan tellen en als logische tel-handicap geven wij bij elke derde persoon één euro. Dat maakt logisch niet uit, want tegenover elke persoon (1-tjes) is een te koppelen derde persoon (3-tjes) aanwezig. Echt waar: noem mij één persoon waar geen derde voor wordt aangewezen. Dus logisch moet het wel zo zijn dat voor elke persoon (1) een euro wordt uitgegeven aan een persoon (3). Dat klopt want dan zijn er evenveel euro's uitgegeven als er personen zijn, dat is via de logica van "het aantal". Niemand komt tekort. We kunnen toch allemaal tellen?! Iedereen gelukkig. En wat we over houden is voor het jaarfeest.

Er komt geen protest op want het zijn vooral meerdejaars wiskundigen. Iedereen ziet de onverbiddelijkheid van de staalharde logica voor ogen. Maar dan is er een eerstejaars, nog niet gepokt en gemazeld door de ondoordringbare logica van de diepere waarheid, en hij zegt: Maar luister nou eens: als we bij de laatste persoon (3) zijn, dan stopt het en dan is er een grote groep van maar liefst 2/3 of meer (1) of (2) zonder een euro. Is dat dan wel eerlijk? Een schaterende lach golft door de groep. Letterlijk wordt er over de grond gerold van het lachen. Dit is bruut. Wat denkt die foet wel niet!! En het verlossende antwoord komt als uit één mond: ! Noem jij eens één van deze groep die een euro heeft gehad (3) waar geen persoon (1) aan gekoppeld is die geen euro heeft gehad !! Het aantal klopt!

Dat was de grap al. Verder gaat het niet. Maar een foet snapt nooit iets in één keer, dus hij protesteert: je vergeet er zoveel, die je gewoon bewijsbaar hebt overgeslagen!? Och arme. De andere eerstejaars rondom hem geven hem steeds meer ruimte. Ze zien het wel aan de reacties van de anderen: dit is een foet die nog niet verder komt dan tellen. Die haalt het eerste jaar nóóit !

Maar de foet is "gewoon" geformeerd uit hollandse klei, en dan heb je het onverzettelijke in je bagage waar je leven op ingericht is, en dat is dat je hecht aan het woord van nuchtere volgbaarheid, dus hij gaat koppig door: Tel nu eens gewoon hoeveel er een euro hebben en hoeveel er niet een euro hebben. Dat kan toch? Dat gaat toch ook over aantallen!

Ja, daar was even niet aan gedacht. het wordt stil en een ouderjaars neemt het woord: We kunnen helemaal niet tellen aangezien er een onbepaald aantal studenten is. Moet je eens kijken hoeveel er in en uitgaan, en hoeveel er half bezopen achter gordijnen en onder tafels schuilen. Dat is géén haalbare kaart. Wiskundig zeker niet want hoe kun je bewijzen dat als je de laatste hebt geteld, niet vooraan iets veranderd is? Het aantal is gewoon ontelbaar. Dus dat lossen we juist op door onze wiskundige logica.

De foet is een beetje gek, dus hij begint te malen: maar hoe kun je nu tot drie tellen als je niet tellen kunt; als het tellen überhaupt niet mogelijk is? Dan grijpt de penningmeester in: ho nou, nu ga je te ver. Je denkt toch niet dat we ook echt beginnen te tellen hier!! We beredeneren alleen dat volgens wiskundige logica één gelijk is aan drie als het lastig is om te tellen. Moet je eens kijken hoe het intuïtieve inslaat als een bom op heel de groep. Dit is een ontgroeningsles om te zien dat we echt véél verder gaan in logica dan een gewone niet gestudeerde. Wat we echt doen natuurlijk, is bepalen hoeveel geld we nodig hebben, en tellen of er in ieder geval twee keer meer studenten zijn dan we nodig hebben aan geld. Dat gedeelte van het geld hebben we dan verdiend en geïncasseerd (vergeet niet dat door het entreegeld er altijd meer geld is dan aanwezigen). En het kost niemand wat, die het volgen kan. En de rest was toch al dronken. Je dacht toch niet dat we de redenering gingen gebruiken om er iets mee te doen, zoals tellen?!! Doe normaal man! We willen alleen even weten dat we van drie euro twee euro vrij kunnen krijgen. En de rest gaat door naar het volgende feest, dan hebben we nóg meer te verdelen!

De foet is gek maar niet dom, en hij vindt wiskunde gewoon leuk, dus hij waagt nog een poging: Maar logisch heb je een probleem, want (mogelijk) de laatste twee (1),(2) hebben geen koppelpersoon (3) en hebben ook geen koppelpersoon naar de andere kant (1).

Ja, dat deed het hem. Vier stevige derdejaars pakken de foet op en mikken hem op de tafel met gebak. "Bier-doop" wordt er gescandeerd en zoveel mogelijk exers halen in en sproeien over hem heen. Wat een feest. De voorzitter introductie eerstejaars trekt even de penningmeester aan de mouw. Maar hoe zit dat eigenlijk? De penningmeester smijchelt. Ja onze redering komt natuurlijk uit het oneindige. Out of the blue terug ins blaue hinein. Daar hebben we dat soort details niet. Want immers, oneindig betekent gewoon doortellen totdat we niet meer te controleren zijn; en stug volhouden. Geldt hier ook hoor, maar dan moeten we even ervan uitgaan dat er oneindig veel studenten zijn. Maar we hebben daarvoor in ons geval een perfecte bonusregel die een meer praktisch handvat biedt:

1. het komt niet voor.

2. En als het voorkomt hebben we een winnaar, en die wint een jacpot van 10 (2) of van 20 (1) euro. En voor elke winnaar is er één gebeurtenis aan te wijzen. en voor elke gebeurtenis zijn er twee winnaars maximaal aan te wijzen. Nooit commentaar gehad. Het is hartstikke logisch; onwrikbaar gegoten in beton. De voorzitter eerstejaars kijkt bewonderend: mooi man!

Ja zegt de penningmeester, de mogelijkheden zijn schier onuitputteljk. Waarom studeert niet iedereen wiskunde? Nu kost het mij vreselijk veel moeite om mijn vriendin te overtuigen dat zij op de schaal van alle vrouwen tot in de oneindigheid precies één en dezelfde is en echt niet te onderscheiden is en echt een eenheid vormt, en zelfs identiek is hoewel verschillend in uiterlijkheid, waarbij zij zich echt niet minder mag voelen,

wanneer ik het heb over die twee andere meiden waar ik mij dit jaar mee vergiste...

[broer konijn 0]

error

[broer konijn 0]

C'ést simple comme bonjour

[Bonjour 80]

Fijn dat je eens een stuk schrijft die 100% waar is.

[The Black Mathematician 82]

"Oneindig" wordt gedefinieerd als iets waar je echt niet bijkunt. Als je er niet bijkunt dan kun je OOK NIET een getal bij een ander getal noemen. Want het eerste getal kon je ook al niet nomen. Want immers je bent in het oneindige. En oneindig is iets waar we niet bij kunnen. Als je dan niet eens bij het eerste getal kunt komen waarmee je vergelijken kunt, hoe kun je dan een tweede getal vinden??

Ik heb een idee wat je hiermee bedoelt, maar zeker weten doe ik het niet, want het woord "bijkunnen" heeft geen precieze betekenis. Misschien helpt het om te zeggen: oneindig is geen (natuurlijk) getal. De verzameling natuurlijke getallen bevat oneindig veel elementen waar oneindig "niet eindig" betekent, namelijk voor elk getal in de verzameling kan je wel een groter getal vinden. De verzameling natuurlijke getallen mag dan wel oneindig veel getallen hebben, het bevat niet een getal "oneindig". Zo ook voor de verzameling van even getallen. De hoeveelheid elementen van een eindige verzameling is een natuurlijk getal. De hoeveelheid elementen van een oneindige verzameling is geen natuurlijk getal. Die hoeveelheid geven we aan met het woord "oneindig".

Hoe kun je dat nu betrekken op oneindigheid ?????? Je trekt je vergelijking vanuit het eindige door zonder een aarzeling, terwijl je weet dat er een scheidslijn is tussen eindig en oneindig. En die scheidslijn is niet wiskundig, maar die is in je eigen beperkingen: je bent te lui om zover te tellen.

Ik nodig je bij dezen uit om het aantal gehele getallen te tellen.

Overigens is het wel heel goed dat je er inhoudelijk op inging. Ik zie nu dat de logische fout niet één is, maar twee zijn, Want niet alleen betrek je op het oneindige wat eindig is. Maar ook haal je een grap uit. Je gooit er een tel-handicap in om elk getal met zichzelf te vergelijken (je geeft een relatie aan), zonder het uit te spreken. En die relatie gebruik je als sleutel om de deur naar de oneindigheid te openen. Maar het is gewoon tellen met een handicap.

Voor eindige verzamelingen is het geen handicap, het geeft precies een maat voor het aantal elementen. Daarom hanteren we deze methode om het aantal elementen van een verzameling te bepalen voor alle verzamelingen. Je kunt het er niet mee eens zijn, maar zo werkt men nu eenmaal in de wiskunde. Voor praktische doeleinden een erg handige definitie. Zie ook die links die ik eerder heb gegeven. Nog niet mee eens? Jammer dan. Dan is het maar zo dat de hele wereld gek is behalve jij. I rest my case.

[Nunc 0]

(ik zie dat er alweer meer gepost is - daarover later)

Misschien een beetje inbinden, en accepteren dat je er qua logica gewoon naast zit?

Wat ik geschreven heb een beetje inbinden is een goed idee. Logica bestond niet maar is per ongeluk gevonden op een forum. De logica zit ik niet naast, maar bovenop. En daar ga ik niet vanaf zonder logische argumenten.

misschien kun je dan even laten zien waar mijn post (link) en TBM's post (er direct boven) niet kloppen? Wat jij doet, is mijn bewijs afwijzen omdat het antwoord je niet aanstaat. Dat is wat anders dan laten zien dat het niet logisch is, of aantonen dat er verkeerde aannamen gedaan worden.

(...)

Schiet mijn logica maar lek !

met plezier, als ik straks meer tijd heb, maar het voelt eigenlijk ook een beetje lullig, simpelweg omdat het zo evident is.

[broer konijn 0]

Voor we verder gaan even een notitie over het nut op een christelijk forum.

Zoals wij hier spreken over zaken van kennis en begrip, is het ook in het geloof. Geloof en wetenschap zijn nauw met elkaar verbonden. Zo zijn ook de emotionele bindingen met bepaalde standpunten nauw verbonden met de personen die ze aanhangen. Wat wij hier bespreken is dus illustratief voor de problemen die gelovigen onder elkaar hebben om elkaar te verstaan. Waarbij het geloof principieel leert dat die verschillen er niet toe doen, aangezien wij allen gekend worden door God en ons verootmoedigen voor God en elkaar niet zullen hoeven voor te houden "ken de Heere" want wij allen kennen de Heere em worden door Hem gekend. Wat gemeenschappelijk is dat is het erkennen en het naspreken van het Woord van God, dat is de bijbel. Oecumene is geen zaak van gelijk op doen, integendeel; maar een zaak van verschillend doen onder de gemeenschappelijke erkenning dat het Woord van God leidinggevend, richtinggevend en doorslaggevend is. Wie dan op grond van deze citeria handelt, die is vrij om los te gaan van andere meningen. En wie zich losmaakt van deze criteria is niet één in oecumene, maar die is afvallig. Daarnaast en daarna is er natuurlijk nog wel steeds het punt van gezag (van de kerk). Graag neemt een gelovige aan als richtsnoer wat het geldende gezag hem voorhoudt. Dat dit legitiem leidt tot problemen is niet omdat men revolutionair individualistisch is of omdat het gezag niet geldt, maar omdat het gezag op een gegeven moment in conflict komt met hetgeen als gezag wordt erkend uit het Woord van God. En God heeft meer gezag dan mensen - waar het ertoe doet. Dit is te uanceren, maar via een eenheid van God met Zichzelf blijft staan dat het geestelijke gezag (Gods woord) niet mag afwijken van de Schrift (Gods Woord). Niet om te bevrijden van het geldende gezag, maar om juist te onderwerpen - voor zover het toelaatbaar is. Ook een ontrouwe gezagsdrager heeft nog gezag. Vroeger werd een christelijke partij dan ook anti-revolutionair genoemd.

De wiskunde steunt op Cantor. Cantor geloofde dat God hem deze filosofie heeft geopenbaard. We hebben het hier dus over zaken waar - in oorspronkelijkheid van uitgang en ontstaan - God zich mee wil bemoeien. Hij geeft bedekkingen of ontdekkingen aan wat zichzelf pleegt te verheerlijken als Wetenschap.

Zo zien we dus in dit onderwerp hoe een paradigma (kleuring van het geheel) bepalend kan zijn voor je benadering en je omgang met een onderwerp. Zelfs in zoiets exacts als wiskunde bljkt een vooringenomen standpunt het totaalbeeld volledig te bepalen c.q. vervormen.

bron: http://www.logicmuseum.com/cantor/Phil-Infinity.htm

[Nunc 0]

(...)

Als we naar twee verzamelingen kijken {1,2,3} en {a,b,c,d}. Welke heeft dan de meeste elementen? Dat is dus de tweede, want je kan een functie verzinnen zodanig dat aan elk element van de eerste verzameling een uniek element van de tweede gekoppeld wordt, terwijl dat omgekeerd niet kan. Bijvoorbeeld f(1)=a, f(2)=b, f(3)=c. Omgekeerd kan dat niet, we kunnen bijvoorbeeld g(a)=1, g(=2 en g©=3 definiëren, maar als we een waarde voor g(d) willen verzinnen, dan kunnen we geen uniek element meer gebruiken, want alle elementen uit de eerste verzameling zijn al gebruikt. De eerste verzameling is dus kleiner.

Stel nu dat we naar de verzamelingen {1,2,3,4} en {a,b,c,d} kijken, dan zijn beide verzamelingen wel even groot omdat we een functie kunnen verzinnen van de eerste verzameling naar de tweede die aan elk element van de eerste verzameling een uniek element van de tweede toekent, maar ook andersom: we kunnen een functie van de tweede verzameling naar de eerste verzinnen die aan elk element van de tweede verzameling een uniek element van de eerste toekent. Volgorde hoe de elementen aan elkaar gekoppeld worden is niet belangrijk, alleen maar dat aan elk element van de ene verzameling een uniek element van de andere gekoppeld wordt.

Neem bijvoorbeeld als functie van de eerste naar de tweede f(1)=a, f(2)=c, f(3)=b, f(4)=d en andersom van de tweede naar de eerste g(a)=4, g(=3, g©=2, g(d)=1.

Voor eindige verzamelingen geldt: als je twee verzamelingen hebt waarvoor er zowel zo'n functie van de eerste naar de tweede als een functie van de tweede verzameling naar de eerste is, dan hebben beide verzamelingen even veel elementen. Als er van de eerste verzameling naar de tweede zo'n functie is, maar niet omgekeerd, dan heeft de eerste verzameling minder elementen dan de tweede.

Vandaar dat men dit als definitie voor "hetzelfde aantal elementen" heeft gekozen. Voor oneindige verzamelingen kan nu wel ineens gelden dat een echte deelverzameling van een andere verzameling evenveel elementen heeft.

Dit is een absolute denkfout met een drogredengehalte van de allerhoogste orde. Elke meelezer en schoudermeekijker kan dat nagaan.

Want: De truc om ongelijkheden gelijk te stellen is dat je voor elk getal een ander getal kunt vinden. De truc is PUUR en UITSLUITEND dat je kunt zeggen: voor elk getal kan ik een ander vinden. Dus ze zijn gelijk (in aantal). Maar de kardinale FOUT is dat je dat toepast op het oneindige. "Oneindig" wordt gedefinieerd als iets waar je echt niet bijkunt. Als je er niet bijkunt dan kun je OOK NIET een getal bij een ander getal noemen. Want het eerste getal kon je ook al niet nomen. Want immers je bent in het oneindige. En oneindig is iets waar we niet bij kunnen. Als je dan niet eens bij het eerste getal kunt komen waarmee je vergelijken kunt, hoe kun je dan een tweede getal vinden??

DAT IS LOGISCH ONMOGELIJK

Zullen we je argumenten analyseren?

Je geeft redelijk goed weer wat TBM en ik (en iedere andere wiskundige/natuurkundige/informaticus/logicus/filosoof/etc zal beamen) dat je kunt zien of twee verzamelingen even groot zijn door te kijken of ze evenveel elementen hebben. En dat je dat wiskundig gezien kunt doen door elk element uit de ene verzameling te koppelen aan een uniek element uit de andere, zonder dat er in één van beide groepen eentje overblijft.

Je claimt daarna echter, dat het een kardinale fout zou zijn, om een dergelijke methode op 'oneindig' toe te passen. Je argument daarvoor is, dat "oneindig" zou zijn gedefinieerd als "iets waar je echt niet bij kunt". Dat verbaast me, aangezien "oneindig" betekent: "zonder einde" of "geen begrenzing hebbend". Dat is wat on-(dus: zonder-)eindig betekent.

Maar goed, stel dat we jouw definitie over "er echt niet bij kunnen komen" even overnemen. Waarom zou dat een probleem zijn? Dat je er "niet bij kunt komen" betekent toch alleen maar dat het oneindig ver weg is? Waarom zou "er niet bij kunnen komen" je verbieden om een logische uitspraak te doen over getallen waar je niet bij kunt komen? Ik hoef bijvoorbeeld niet tot gigaziljoenmiljardquadriljoenabsurdiveelojoen te kunnen tellen, om je te vertellen dat er na gigaziljoenmiljardquadriljoenabsurdiveelojoen nog een getal komt, namelijk gigaziljoenmiljardquadriljoenabsurdiveelojoen +1. Ik kan gewoon spreken over getal X en dan X+1 aanwijzen. Dat is een abstractiniveau waarvoor je niet tot aan X hoeft te kunnen tellen.

Waarom zou ik bij een willekeurig getal X niet "keer 2" kunnen doen? Uiteraard is het getal "oneindig" zelf een lastige. Maar daar ging het niet om, het ging erom dat je voor alle hele getallen, hoe ver je ook zou tellen, altijd "keer 2" kunt doen. Er is geen regel die je bv. vanaf e.o.a. mysterieus grensgetal G verbiedt om als je getal groter is dan G, nog "keer 2" te doen. Voor elk natuurlijk getal (1,2,3,4,....) dat jij kunt noemen/verzinnen kan je "keer 2" doen. Zelfs voor alle oneindig veel getallen die jij niet kunt verzinnen of noemen, maar die wel bestaan. Geeft ze de naam 'getal N' en neem dan 'twee keer N'. Er is geen enkele reden -- ook niet door jou aangedragen -- dat het getal 'twee keer N' niet zou kunnen bestaan. Dat is ook het hele punt: oneindig, zonder grenzen. Je kunt altijd doorgaan.

En zo'n grote uitspraak, puur en alleen op basis van jouw eigen definitie van "oneindig" ("dat je er niet bij kunt komen"). Als ik "oneindig" ook zelf mag definieren, kies ik misschien wel voor "het getal met een licht paarse kleur". Maar dat is nu eenmaal niet wat oneindig ook echt betekent. Dat betekent gewoon: zonder einde, geen einde hebbend, onbegrensd. Jij importeert eerst zelf in jouw definitie van "oneindig" het e.e.a. en gebruikt dat dan later om te claimen dat we er iets niet over kunnen zeggen omdat we het niet kunnen bereiken. Ik citeer: "Als je er niet bijkunt dan kun je OOK NIET een getal bij een ander getal noemen. Want het eerste getal kon je ook al niet nomen. Want immers je bent in het oneindige.".

Dan nog een denkfout, of een leesfout? Je maakt van het wiskundige argument dat je voor elk getal N een even getal 2N kunt vinden, een uitspraak over een oneindig getal. Alsof wij geclaimd hebben dat je voor het getal "oneindig" een dubbele moet aanwijzen. Maar dat deden we niet. Oneindig is nu juist het probleem waar we wiskundig/logisch iets over proberen te zeggen. NIET datgene waarvan we al weten hoe het zich gedraagt, zodat we onze logica er maar op aan moeten passen. Dus, met de "keer 2" regel doen we een algemene uitspraak over alle mogelijke getallen: voor elk getal kun je "keer twee" toepassen. En als je dat met een willekeurig heel getal doet, krijg je altijd een even getal, simpelweg omdat even getallen gedefinieerd zijn als die getallen die als je ze door 2 deelt, een heel getal krijgt. En aangezien "keer 2" en "gedeeld door 2" elkaars tegenhanger (inverse) zijn, is de uitkomst van een heel getal keer 2 dus altijd een even getal.

Dus: we kunnen een algemene uitspraak doen over alle hele getallen, namelijk: doe ze keer 2, en je krijgt een even getal. En we kunnen andersom ook een algemene uitspraak doen over alle even getallen: deel ze door 2, en je krijgt altijd een heel getal.

Niks logisch onmogelijks aan dus. Het leek voor jou onmogelijk, omdat je dacht in termen van "bereiken", en omdat je dacht dat de uitspraak over oneindigheden ging. Maar de uitspraak gaat simpelweg over alle mogelijke hele getallen (en idem voor alle mogelijke even getallen).

Wat je feitelijk doet is gewoon rekenen alsof we het over bestaande getallen hebben (wat mij werd verweten), en tussen het eerste bestaande getal in je vergelijking en het tweede koppelgetal, stel je dat er een grens ligt met het oneindige.

Nog een verwarring. Want we rekenden niet met oneindig, we waren aan het kijken wat voor eigenschappen een oneindig grote verzameling heeft t.o.v. een andere verzameling die ook oneindig is. Het "keer 2" gebeuren is simpelweg een wiskundig/logisch ware uitspraak over alle (hele / even) getallen. En aangezien 1,2,3,4,... en 2,4,6,8,... gewoon bestaande getallen zijn, zie ik je probleem niet. Je kunt simpelweg oneindig lang doorgaan met het opnoemen van hele getallen, en altijd zul je dan "keer 2" kunnen doen en een ander bestaand getal krijgen.

En zoals TBM al zei: "oneindig" is zelf geen getal uit de reeks van hele getallen. Dat is wellicht een denkfout die je maakt. Want stel dat je een rij 1,2,3,4,5,....... oneindig-2, oneindig-1, oneindig (en daar houdt het op) zou hebben als rij, dan is het mogelijk om alle tussenliggende getallen in te vullen. En ook om oneindig+1 toe te voegen. De rij houdt dus niet op, en oneindig is geen getal dat in de rij thuis hoort. Het begrip "oneindig" is een aanduiding voor hoe groot de rij getallen (waar "oneindig" zelf niet in zit) is.

TBM en ik hebben het dus niet over grenzen die bij het getal oneindig liggen. We doen slecht ware uitspraken over een bepaalde verzameling met objecten erin, en in dit geval is dat de verzameling met alle hele getallen erin (of alle even getallen). En die verzameling is "oneindig" groot. Maar het "getal oneindig" komt er niet in voor. Oneindig is een eigenschap van die hele verzameling: het is een verzameling zonder einde, zonder begrenzing.

Maar die grens bestaat niet omdat (volgens je eigen definitie) oneindig niet te beschouwen is als een bestaand getal.

inderdaad, die bestaat niet: oneindig: zonder einde. En als je terug leest in onze argumenten, zul je ook zien dat we nergens grenzen leggen. Jij hebt dat gedaan, onder andere in je x/2 getallen-overslaan-argument. Daar leg je een concrete grens x, en kijkt dan wat er wel en niet van 0 tot X in zit. Maar oneindig (zonder einde) kun je niet als grens hanteren. Je verwijt is inconsistent.

Dus je zit gewoon ordinair onbestaande appels met onbestaande peren te vergelijken., Logisch dat die gelijk zijn. Dat is knollen voor citroenen verkopen. Want je vergelijking doet net alsof de eerste getallen die je wilt gaan vergelijken bestaande getallen zijn. Maar dat is niet zo.

Je begrijpt er echt geen snars van, en ik zie waar de verwarring vandaan komt. Je eigen definitie van oneindig ("niet te bereiken") hindert je, samen met de (niet concreet gemaakte, impliciete) aanname dat "oneindig" een getal is ergens op de getallenlijn. Je denkt dat het daarom niet mogelijk is om over alle getallen een uitspraak te doen, omdat je denkt dat wij op een gegeven moment bij dat oneindige getal zouden moeten komen (op de getallenlijn) en daar dus niks over kunnen zeggen, omdat we er toch echt niet kunnen komen, laat staan bij een getal dat twee keer zover ligt (2N). Maar dan maak je de kardinale fout dat je denkt dat "oneindig" een getal is dat je ergens zult tegenkomen als je maar lang genoeg doortelt. Maar "oneindig" is iets zonder einde. Het is dus geen heel getal dat je ooit tegenkomt als je maar lang genoeg telt.

De enige logische conclusie is dat die prachtige vergelijking van jullie leuk is voor bestaande getallen, maar in de oneindigheid gewoon helemaal nergens over gaat, ergo: nergens op slaat. Schiet mij ook maar lek.

zie bovenstaande. Zo lek als een gieter. Ik zou bijna zeggen: oneindig veel gaten in een eindig stukje tekst.... knap gedaan. De zinnige conclusie die ik uit jou betoog kan trekken, is dat je eigen notie over wat oneindig is, hopeloos verward is. Aan de ene kant zie je het als iets dat onbereikbaar is, aan de andere kant als iets dat zich toch echt als getal gedraagt ergens op de getallenlijn, maar dan wel weer als een soort onbereikbare begrenzer op die getallenlijn waar je niet voorbij kunt. Dat is inconsistent. De conclusies die je op basis van dergelijke inconsistente (en niet onderbouwde) aannames doet, is eveneens inconsistent.

Bekijk bijvoorbeeld de verzameling van de even getallen {2,4,6,8,10, ...} en de verzameling van natuurlijke getallen {1,2,3,4,5, ... } waar de drie puntjes voor "etc" staat. De eerste is een echte deelverzameling van de tweede, want {1,3,5,...} staan er niet in. We kunnen een functie verzinnen die aan elk even getal een uniek natuurlijk getal toekent, neem bijvoorbeeld f(2)=2, f(4)=4, f(6)=6, etc.

Maar andersom is dat ook mogelijk: neem bijvoorbeeld g(1)=2, g(2)=4, g(3)=6, etc. Conclusie is dus dat beide verzamelingen evenveel elementen hebben. Tegenintuitief maar wel waar als je deze definitie van "het aantal elementen" hanteert. In de praktijk hanteert elke wiskundige deze definitie.

Hoe kun je dat nu betrekken op oneindigheid ?????? Je trekt je vergelijking vanuit het eindige door zonder een aarzeling, terwijl je weet dat er een scheidslijn is tussen eindig en oneindig. En die scheidslijn is niet wiskundig, maar die is in je eigen beperkingen: je bent te lui om zover te tellen.

Nu ben je zelf ook expliciet inconsistent in de zin dat je twee tegenstrijdige aannames hebt. Aan de ene kant heb je het over "oneindig" als niet te bereiken (zie ook eerder in je post), aan de andere kant dat de scheidslijn tussen oneindig en eindig niet wiskundig is, maar gewoon een menselijke beperking: je stopt te vroeg me tellen (Als in: als je maar ver genoeg doortelt, dan kom je wel bij die scheidslijn. ). Maar het is toch weer wel een echte scheidslijn, want je bezwaar is nu juist, hoe je iets uit het eindige naar het oneindige door kunt trekken. En als het probleem alleen "te vroeg stoppen" was, dan is er geen enkele reden waarom je niet van eindig naar oneindig kon gaan.

Maar: als er een scheidslijn is, is het getal vlak ervoor dan niet oneindig, en als je de grens oversteekt, zit je ineens wel in het oneindige? Dus oneindig - 1 is niet oneindig? Maar als je "oneindig" niet kunt bereiken, hoe kun je dan wel één plekje ervoor aanbelanden? Vanaf daar is het namelijk nog maar 1 stapje. Dus jouw "oneindig" (niet te bereiken) is wel te bereiken. Dat is het hele probleem: jouw "oneindig" is een soort mystiek getal dat op de getallenlijn bivakkeert, maar waar je niet bij kunt komen. Maar kennelijk kun je wel bij oneindig-1 komen (want dat ligt voor de scheidslijn) maar dan weer niet vanaf dat ene punt nog 1 stapje om oneindig te bereiken. Je hele overtuiging dat oneindig als een soort getal op de getallenlijn ligt, is een denkfout.

Overigens is het wel heel goed dat je er inhoudelijk op inging. Ik zie nu dat de logische fout niet één is, maar twee zijn, Want niet alleen betrek je op het oneindige wat eindig is. Maar ook haal je een grap uit. Je gooit er een tel-handicap in om elk getal met zichzelf te vergelijken (je geeft een relatie aan), zonder het uit te spreken. En die relatie gebruik je als sleutel om de deur naar de oneindigheid te openen. Maar het is gewoon tellen met een handicap.

Die relatie is iedere keer expliciet gemaakt (de 'keer 2') etc.

Stel: De jaarfeesten bij wiskunde hebben een jaarlijks hoogtepunt. Er is 1000 euro. Uit het entreegeld. En een ontelbare menigte personen.

Dan hebben oneindig veel mensen niks betaald (of uit de kas gejat). Anders kun je moeilijk op 1000 euro uitkomen, als iedereen iets betaald heeft. Dan zou je op oneindig veel geld uitkomen. Tenzij mensen natuurlijk 0 euro betaald hebben (i.e. niet betaald) of infenitisimaal kleine bedragen (oneindig klein) of negatieve entreegelden betaald hebben. Als het om wiskunde studenten gaat, kan ik me dat laatste overigens wel weer voorstellen, aangezien studenten altijd geld te weinig hebben.

Ze gaan wetenschappelijk verdelen, dus wordt gezegd: we gaan tellen en als logische tel-handicap geven wij bij elke derde persoon één euro. Dat maakt logisch niet uit, want tegenover elke persoon (1-tjes) is een te koppelen derde persoon (3-tjes) aanwezig. Echt waar: noem mij één persoon waar geen derde voor wordt aangewezen. Dus logisch moet het wel zo zijn dat voor elke persoon (1) een euro wordt uitgegeven aan een persoon (3). Dat klopt want dan zijn er evenveel euro's uitgegeven als er personen zijn, dat is via de logica van "het aantal". Niemand komt tekort. We kunnen toch allemaal tellen?! Iedereen gelukkig. En wat we over houden is voor het jaarfeest.

Waar te beginnen? Je gooit van alles door elkaar, waardoor het geen bewijs meer is. Je wilt binnen één verzameling gaan kijken naar twee groepen. Fijn, maar daar ging het ons niet over. Wij hadden twee verzamelingen (met in beide verzamelingen een heleboel getallen). Daarbij ga je al uit van een eindig aantal mensen, omdat je spreekt over het uitgeven van geld, maar er maar een eindig bedrag (1000) is. Dus je kunt 1000 personen een euro geven. En als je elke derde persoon een euro geeft, dan kun je 3000 mensen op een rij zetten en elke derde persoon iets geven. Maar tegelijkertijd had je het over ontelbare mensen (bedoelde je echt: oneindig veel? Of gewoon meer dan men bereid was te tellen? Want dat laatste is gewoon luiheid, geen oneindigheid).

Dan naar je conclusie: "Dus logisch moet het wel zo zijn dat voor elke persoon (1) een euro wordt uitgegeven aan een persoon (3).". En ja, als je echt ontelbaar (oneindig) veel mensen had, dan is dat waar. Maar jij gaat impliciet toch stiekem uit van een heel erg groot, maar toch eindig getal (of je behandelt oneindig als een gewoon heel groot getal op de getallenlijn).

Dan ga je verder met Dat klopt want dan zijn er evenveel euro's uitgegeven als er personen zijn, en als er inderdaad oneindig vele mensen waren, en je oneindig veel uitgeeft (ook al is het maar aan elke derde persoon) dan heb je echt oneindig veel uitgegeven. De vraag die impliciet achter je verhaal zit, is of die oneindige uitgave evenveel is als wat je binnen hebt gekregen. Maar 'veel' slaat alleen op eindig. Als je oneindig veel inkomsten had (van oneindig veel mensen) dan heb je simpelweg oneindig veel. Dat is niet een getal ergens op de getallenlijn dat je moeilijk (of niet) kunt bereiken (tenzij je een gigafeest hebt). "oneindig veel" is hoe groot je verzameling met geld is. "Oneindig" is niet een getal dat je ooit tegenkomt als je 1-voor-1 je euro's gaat tellen. En ja, zolang je eindig veel bezoekers hebt, en van ieder 1 euro krijgt en effectief 1/3 euro teruggeeft, dan stijgt het geld in je kas. En dat je over aantallen en verschillen kunt praten is net als in het x/2 getallen-weglaten-voorbeeld omdat je stiekem toch echt een groot maar eindig aantal mensen in gedachten hebt, een aantal mensen x, waarvan 1/3 een euro heeft gekregen. Dus x inkomsten, x/3 uitgaven. Maar het punt is nu juist dat je niet maar x (eindig veel) mensen hebt, maar dat er oneindig veel zijn. En jij wilt heel graag dat "oneindig" veel toch behandelen als "heel veel, maar wel eindig", als een heel groot getal. En daar gaat je betoog elke keer de mist in. Je springt als het uitkomt van echt oneindig naar gewoon heel erg groot. En je argumenten werken voor "gewoon heel erg groot" (en zelfs voor "gewoon heel erg groot, en dan nog veel meer"). Maar niet voor oneindig. Jij springt over de grens die je zelf claimt dat er is.

Er komt geen protest op want het zijn vooral meerdejaars wiskundigen. Iedereen ziet de onverbiddelijkheid van de staalharde logica voor ogen. Maar dan is er een eerstejaars, nog niet gepokt en gemazeld door de ondoordringbare logica van de diepere waarheid, en hij zegt: Maar luister nou eens: als we bij de laatste persoon (3) zijn, dan stopt het en dan is er een grote groep van maar liefst 2/3 of meer (1) of (2) zonder een euro. Is dat dan wel eerlijk? Een schaterende lach golft door de groep. Letterlijk wordt er over de grond gerold van het lachen. Dit is bruut. Wat denkt die foet wel niet!! En het verlossende antwoord komt als uit één mond: ! Noem jij eens één van deze groep die een euro heeft gehad (3) waar geen persoon (1) aan gekoppeld is die geen euro heeft gehad !! Het aantal klopt!

Grappig, maar ook heel ironisch. Want het lachen is om jouw verwarring. Jij wilde oneindig als "onbereikbaar", maar nu ben je ineens "bij de laatste persoon". Maar er waren ook ontelbaar veel mensen aanwezig, dus hoeveel meer tegenstrijdigheden wil je hebben in je eigen betoog? Onbereikbaar, ontelbaar veel, maar toch wil je spreken over "de laatste persoon". Je brengt hier zelf je inconsistentie aan het licht. Ik hoef er alleen maar even op te wijzen. Je gaat toch impliciet weer uit van "oneindig veel" als "heel erg groot maar toch bereikbaar". En dat is het niet.

Dat was de grap al. Verder gaat het niet. Maar een foet snapt nooit iets in één keer, dus hij protesteert: je vergeet er zoveel, die je gewoon bewijsbaar hebt overgeslagen!? Och arme. De andere eerstejaars rondom hem geven hem steeds meer ruimte. Ze zien het wel aan de reacties van de anderen: dit is een foet die nog niet verder komt dan tellen. Die haalt het eerste jaar nóóit !

Niemand betwist dat er mensen overgeslagen zijn (oneindig veel, tenminste als er oneindig veel mensen waren). Maar jij maakt van 'oneindig' toch weer 'heel erg veel' maar niet oneindig. En dan krijg je jouw paradox weer.

Maar de foet is "gewoon" geformeerd uit hollandse klei, en dan heb je het onverzettelijke in je bagage waar je leven op ingericht is, en dat is dat je hecht aan het woord van nuchtere volgbaarheid, dus hij gaat koppig door: Tel nu eens gewoon hoeveel er een euro hebben en hoeveel er niet een euro hebben. Dat kan toch? Dat gaat toch ook over aantallen!

Ja, daar was even niet aan gedacht. het wordt stil en een ouderjaars neemt het woord: We kunnen helemaal niet tellen aangezien er een onbepaald aantal studenten is. Moet je eens kijken hoeveel er in en uitgaan, en hoeveel er half bezopen achter gordijnen en onder tafels schuilen. Dat is géén haalbare kaart.

Eerst was er nog een ontelbare menigte (citaat: "En een ontelbare menigte personen"), maar nu is ze slechts "onbepaald". En daar maak je gebruik van de onduidelijkheid en ambiguïteit van taal. Je speelt zonder dat je het zelf weet een woordspelletje met je zelf. Je bent van oneindig gegaan naar niet weten hoeveel (onbepaald aantal). En je wilt het aantal tellen, dus je weet al dat het er niet oneindig veel zijn. En ja, dan kom je er achter dat als je ze inderdaad telt, het er X zijn (X eindig) alleen wisten we dat nog niet voordat we gingen tellen. Nu weten we het wel, er zijn er X. En dat is een eindig aantal, want we hebben het zojuist geteld. Dus je wilde iets zeggen over oneindig, maakte er eerst ontelbaar van, en toen toch telbaar maar alleen niet bekend (onbepaald) maar na telling wel bepaald. Dat is een grote denkfout. Je hebt je door je intuïtie laten leiden, niet door zuivere argumenten. Slordig.

Wiskundig zeker niet want hoe kun je bewijzen dat als je de laatste hebt geteld, niet vooraan iets veranderd is? Het aantal is gewoon ontelbaar. Dus dat lossen we juist op door onze wiskundige logica.

en toen gingen we in twee zinnen weer even van telbaar naar ontelbaar. Steeds weer blijkt, dat je "ontelbaar" gewoon ziet als het menselijke equivalent van hoe een vogel eieren telt: 1-2-veel. Alsof "ontelbaar" de vergaarbak is voor die getallen die we niet meer kunnen bevatten of opnoemen. Alsof "ontelbaar" gewoon ergens een eind verderweg op de getallenlijn te vinden is. Maar dat botst dan wel weer met jouw idee dat oneindig "onbereikbaar" ver weg is. Je hinkt keer op keer op die twee gedachten: dat "oneindig" onbereikbaar is, maar eigenlijk toch ook weer wel bereikbaar omdat het slechts een beperking is van de teller.

De foet is een beetje gek, dus hij begint te malen: maar hoe kun je nu tot drie tellen als je niet tellen kunt; als het tellen überhaupt niet mogelijk is?

Een woordspelletje. Tot drie tellen is iets heel anders dan het complete aantal tellen. Als ik bij de uitgang van een voetbalstadion ga staan, hoef ik niet te weten hoeveel mensen er binnen zijn, om toch de derde persoon die naar buiten komt, aan te wijzen. En evenmin hoef ik te weten hoeveel er zijn, om de derde persoon na die ene man met die gekke hoed op, aan te wijzen. Ik hoef alleen maar vanaf die ene man 1-2-3 te tellen en een ander aan te wijzen. Het is irrelevant hoeveel mensen er in totaal zijn. Of er eindig of oneindig veel zijn, maakt niet uit. Ik zie de man met de gekke hoed, en hoef vanaf hem maar tot 3 te tellen.

Dan grijpt de penningmeester in: ho nou, nu ga je te ver. Je denkt toch niet dat we ook echt beginnen te tellen hier!! We beredeneren alleen dat volgens wiskundige logica één gelijk is aan drie als het lastig is om te tellen.

Een aantoonbare karikatuur van ons betoog. Geeft niet, maar dan moet je niet verwachten dat je nog een zinnige conclusie krijgt uit je eigen redenering. Er is niks over 1=3 gezegd, alleen over twee oneindig grote verzamelingen.

Moet je eens kijken hoe het intuïtieve inslaat als een bom op heel de groep. Dit is een ontgroeningsles om te zien dat we echt véél verder gaan in logica dan een gewone niet gestudeerde. Wat we echt doen natuurlijk, is bepalen hoeveel geld we nodig hebben, en tellen of er in ieder geval twee keer meer studenten zijn dan we nodig hebben aan geld. Dat gedeelte van het geld hebben we dan verdiend en geïncasseerd (vergeet niet dat door het entreegeld er altijd meer geld is dan aanwezigen). En het kost niemand wat, die het volgen kan. En de rest was toch al dronken. Je dacht toch niet dat we de redenering gingen gebruiken om er iets mee te doen, zoals tellen?!! Doe normaal man! We willen alleen even weten dat we van drie euro twee euro vrij kunnen krijgen. En de rest gaat door naar het volgende feest, dan hebben we nóg meer te verdelen!

Je denkt weer in termen van eindig (maar wellicht onbekend of heel veel). Niet in termen van oneindig. En zolang als je die twee in je betoog door elkaar haalt alsof het het zelfde is, kom je op de grootst mogelijke onzin uit. Maar dan moet je niet doen alsof die onzin aan ons ligt, aangezien je zelf (onbewust) dingen door elkaar haalt en daar dan op verder bouwt.

De foet is gek maar niet dom, en hij vindt wiskunde gewoon leuk, dus hij waagt nog een poging: Maar logisch heb je een probleem, want (mogelijk) de laatste twee (1),(2) hebben geen koppelpersoon (3) en hebben ook geen koppelpersoon naar de andere kant (1).

En alweer: welke laatste in een oneindige rij? Oneindig was niet bereikbaar ... en nu ineens weer wel. Maar dan is het niet oneindig, maar gewoon "veel" of "teveel om nu ik bier op heb, nog met m'n vingers te tellen". Maar onbepaald en veel zijn niet hetzelfde als oneindig. Als je dat wel doet, kom je op onzin uit.

Ja, dat deed het hem. Vier stevige derdejaars pakken de foet op en mikken hem op de tafel met gebak. "Bier-doop" wordt er gescandeerd en zoveel mogelijk exers halen in en sproeien over hem heen. Wat een feest. De voorzitter introductie eerstejaars trekt even de penningmeester aan de mouw. Maar hoe zit dat eigenlijk? De penningmeester smijchelt. Ja onze redering komt natuurlijk uit het oneindige. Out of the blue terug ins blaue hinein. Daar hebben we dat soort details niet. Want immers, oneindig betekent gewoon doortellen totdat we niet meer te controleren zijn; en stug volhouden. Geldt hier ook hoor, maar dan moeten we even ervan uitgaan dat er oneindig veel studenten zijn

(...)

En inderdaad, het werkt alleen als er echt oneindig veel zijn. Dat is het hele punt. Jij probeert van eindig maar heel groot (of onbekend hoeveel) over te springen naar oneindig en weer terug. Wij nemen echter vantevoren niks aan over wat oneindig wel of juist niet is. Logici beginnen met wat we wel kunnen doen, namelijk zien over er ergens in twee verzamelingen evenveel van zijn. Daarvoor hoef je niet te tellen, daarvoor hoef je alleen maar te koppelen. Als je na alle paartjes aan de ene of de andere kant iets overhoudt, dan waren er niet evenveel. Maar je hoeft niet te kunnen tellen, tenminste, niet meer dan van 0 naar 1 en e.v.t naar maar-dan-1, omdat je alleen maar wilt weten of er evenveel zijn, niet hoeveel. En aangezien je bij oneindig nu juist niet kon tellen, is kijken naar of er evenveel zijn, het zinnige alternatief. Jij wilt echter bij oneindig wel tellen (tenminste, de ene keer wel, de andere keer weer niet, afhankelijk van wat jouw gevoel je zegt). Doordat je consequent niet consequent bent in hoe je omgaat met tellen, oneindig, heel veel en onbepaald, kom je overal in de knoop. En hoe vaak je er ook een leuk verhaaltje van maakt, het verhult die denkfouten niet.

Meer in het algemeen: wat we hier zien is hoe tegenstrijdig logica kan lijken als je het op je gevoel moet beoordelen. Als je zo'n situatie tegenkomt, moet je proberen om je argument te analyseren en te kijken naar verborgen aannames, verkeerde denkstappen etc.. Het volstaat niet om van het eindantwoord te stellen dat het je niet aanstaat, en dus de redenering niet kan kloppen. Als Broer Konijn wil laten zien dat zijn methode om met oneindig om te gaan, zinniger is dan die van de wiskundige sinds 18-honderd-zoveel, dan is het aan hem om te laten zien dat "kijken of twee groepen even groot zijn" niet op een zinnige manier gedaan kan worden door paartjes te maken van elementen uit beide groepen. Of, als dat wel een zinnige manier blijkt te zijn (het is in ieder geval beter dan tellen, als het om oneindig gaat), om te laten zien dat de paartjes die voor hele en even getallen gemaakt worden, niet kloppen. Maar daarvoor zou je moeten laten zien dat er niet voor elk heel getal een uniek even getal is (en andersom voor elk even getal een uniek heel getal) en dat er dus in één van de twee groepen een getalletje zielig alleen staat. En ja, dat kun je bewijzen voor elke eindige groep. Dat is het X/2 (of het derde-studenten)-verhaal. Maar het ging over oneindig veel (dus zonder grenzen, onbegrensd), en dan kun je niet laten zien dat er eentje mist, simpelweg omdat je altijd verder kan gaan het oneindige in.

[Nunc 0]

(...)

De wiskunde steunt op Cantor.

Nee, dit onderwerp is aangetoond door Cantor. Dat is nogal wat anders.

Cantor geloofde dat God hem deze filosofie heeft geopenbaard.

fijn voor hem, maar compleet irrelevant. Het is de vraag of het logisch is of niet, niet hoe iemand het ontdekt heeft. Amerika bestaat toch ook, ondanks dat Columbus dacht dat hij in India aan was beland?

We hebben het hier dus over zaken waar - in oorspronkelijkheid van uitgang en ontstaan - God zich mee wil bemoeien. Hij geeft bedekkingen of ontdekkingen aan wat zichzelf pleegt te verheerlijken als Wetenschap.

Zo zien we dus in dit onderwerp hoe een paradigma (kleuring van het geheel) bepalend kan zijn voor je benadering en je omgang met een onderwerp. Zelfs in zoiets exacts als wiskunde bljkt een vooringenomen standpunt het totaalbeeld volledig te bepalen c.q. vervormen.

bron: http://www.logicmuseum.com/cantor/Phil-Infinity.htm

Sorry, maar je speelt hier nu echt met woorden en begrippen. omdat Cantor wellicht een ingeving heeft gehad (of dacht dat God hem iets influisterde?) is wat hij ontdekt heeft ineens vooringenomen? Sorry, maar je bent geheel inconsistent. Het ene moment claim je dat jij je op de logica baseert, maar als een ander dat doet (en zonder jouw inconsistenties) dan probeer je dat met het vervuilen van de bron van tafel te vegen. Dat is simpelweg niet netjes (naast het feit dat het ook gewoon onlogisch is). Je moet kijken naar het argument van Cantor, of naar het argument wat TBM of ik heb gegeven. Waar zit daar de logische fout in? Dat is de vraag die je op moet pakken, als je claimt dat je je op logica baseert en wat wij schrijven niet logisch zou zijn.

de enige "vooringenomenheid" die er is, is dat logica ook daadwerkelijk logisch is en relevant om dingen mee te beredeneren. Het zou goed kunnen dat je de logica an sich wilt verwerpen. Dat mag van mij. Dan moet je je alleen niet op diezelfde logica willen beroepen om iets "onlogisch" te noemen. Als je over logisch en onlogisch wilt praten, kies je ervoor om zuiver logisch te redeneren. In dat geval zul je de redeneringen moeten toetsen op zuiverheid, niet op wie ze voor het eerst op papier heeft gezet.

[broer konijn 0]

Wat is "oneindig"?

Logisch gezien is het iets dat "geen einde" heeft, dat "onbegrensd" is.

Mee eens.

Als we het hebben over de rij met alle getallen, dan heeft die rij geen einde, hij is onbegrensd, oneindig. Want voor elk willekeurig getal N uit die rij hele getallen, kan ik een getal N+1 geven.

Mee eens.

Cantor stelde dat je niet eerst de ene verzameling moet tellen en dan de ander, en dan de groottes vergelijken, maar dat je ook kunt tellen door tegelijkertijd uit de ene en uit de andere verzameling elementen "weg te strepen". Het enige dat je controleert, is of er altijd een paar is of niet. Ja: dan waren er evenveel. Nee: dan kijk je wie er als laatste wegloopt.

En dan wordt het interessant/vreemd/tijd-voor-bier/tegen-intuïtief/etc.

Want: we gaan paren maken van de hele getallen (1,2,3,4...) met de even getallen (2,4,6,...) en het gaat ons niet lukken om een single te vinden in de ene of de andere groep.

Het resultaat is verbluffend. Omdat de hele en de even getallen oneindig zijn, kun je voor elke N hoe groot ook, altijd een 2N vinden aan de andere kant. Maar voor elk getal Y uit de even getallen, kun je altijd een N vinden waarvoor Y het 2N getal was.

Ik noemde het "tellen met een handicap": Je weet dat oneindig niet te bespreken is in concreetheid. Dus elke tel die je concreet aan iets anders koppelt kun je bewaarheid krijgen als oneindig voorkomend. En de kern is dan dit: door de relatie mee te nemen naar het oneindige laat je de term heersen over de term-onderdelen.

Ik herhaal dit: Oneindig is niet te bepalen. Maar door die oneindigheid te benaderen met vaste termen, maak je de term-onderdelen automatisch aan elkaar gelijk qua voorkoming. Dat komt alleen maar omdat oneindigheid een feit is en je de term er zelf ingestopt hebt, om mee te nemen naar het oneindige. Maar dat neemt niet weg dat je in het oneindige dat ook steeds weer los moet kunnen maken.

Neem bijvoorbeeld de relatie n, N x 1.000.000.000.000.000 De verzameling die je MAAKT, CREËERT, SAMENBINDT, neem je dan automatisch mee naar het oneindige. Oneindig is wat je niet beheerst. Maar door je tellen met handicap neem je de handicap mee naar het oneindige. Als dan n * 1.000.000.000.000.000 even vaak voorkomt als n, dan weet je dat je handicap bij elke n+1 maar liefst 999.999.999.999.999 X n overslaat. Je wilt niet weten hoeveel dat is bij de wat grotere getallen. En welk getal jij ook noemt, ik bewijs je met een behangrol dat wat je hebt laten liggen in de handicap bizar belachelijk veel is. De handicap is derhalve op geen enkele manier te beschouwen als een telling. Het is gewoon het eerste getal opnieuw geformuleerd in een handicap.

BEWIJS:

Het bewijs zit al in de taal. Altijd gaat het bij de waarheid om ZUIVER gebruik van de taal. Een verzameling is een verzameling. Wat een verzameling is, dat is wat je verzamelt. Dat is wat je dus bij elkaar stopt. Dat is wat JIJ bij elkaar stopt. Dat is dus niet iets van de wiskunde maar van de mens. Of misschien juister gezegd, van de dirigent.

Cantor stopt er steeds twee bij elkaar. In zijn beschrijving van de verzameling heeft hij dus een rond gekoppeld resultaat. Maar hoe hij dat dan ook formuleert, elk kind weet dat er na die koppeling nog een factor +1 denkbaar is. Echter Cantor weigert zijn eigen maaksel los te laten, en blijft tot in het oneindige de logica tarten en traineren. Want steeds als je zegt: stop met verzamelen, en doe er één bij, dan is dat waar en juist dat die ene erbij kan, Maar Cantor weigert zijn koppeling, zijn gemaakte verzameling, zijn ingestopte beperking, los te laten. Maar dat slaat echt helemaal nergens op. Want het was maar een relatie. Elk moment is de wiskundige logica van Cantor te stoppen, en zodra je hem ook maar heel even stopt, is het onzin voor de tel ernaast. En dan ineens is ook heel het relationele een klucht, à la folie, want ineens is 1 niet meer gelijk aan 2, maar een verschil van 100%.

Dus neem je in gedachte de mooie notatie van verzamelingen, en kijk naar de lay-out: is dat een oneindigheidsformulering of is dat een door een mens gemaakt beperkt beeld. Dat je dat beeld in het oneindige kunt herhalen is alleen maar waar zolang het ook herhaalbaar is. Maar waar het niet kan, kan het ook niet. En in het eindige en ook in het oneindige geldt: doe er 1 bij, en heel je schema wordt rijstebrij. In jouw voorstelling mag je er niet een bij doen. maar waarom niet? Niemand heeft interesse om te weten hoeveel handicaps je kunt toevoegen aan hetgeen oneindig wordt. Maar wat we willen weten is of dat iets afdoet aan het feit dat je er in het oneindige 1 naast kunt zitten. Helemaal niets. Het is en bijft en was het al vanaf mijn eerste kennismaking met die fenomeen, een gewone drogreden.

Onthoud: Wat jij verzamelt, heb jij beperkt. Neem jouw paartjes die samen naar buiten komen. Je hebt weinig inzicht nodig om te begrijpen dat als je ze blijft paren, dat er nooit een eenling binnen kan komen tenzij er kinderen worden geboren. Dat is gewoon niet mogelijk. Wat niet gepaard is houd je erbuiten. Maar als ik zeg dat je steeds naast het paar een eenling kunt vinden, dan verklaar je mij wiskundig gekromd en pseudo-filosofisch. Want jouw wiskunde zegt dat je niet mag rekenen met iets anders dan de paartjes die jij zelf hebt gedefinieerd en geformeerd en als uitsluitend telraam ingevoerd van de realiteit die er gewoon direct naast staat. Maar ééntjes staan niet op je telraam, je hebt op je telraam elke één hergedefinieerd tot een twee. Och arme onevengetallen, ze zijn geëxcommuniceerd door het ijzeren harnas van het verzamelingsteken!

En ook met een bewijs uit het ongerijmde kan het:

Stel dat er meer hele getallen zijn dan even getallen. In dat geval is er minstens één getal in de "hele" linkerrij (zeg: N) dat geen tegenhanger in de rechterrij ("even") heeft, omdat anders alle hele en even getallen gepaard zijn (en ze dus volgens onze paar-telling evenveel zijn).

Jijzelf hebt de getallen gekoppeld in tweetallen, Dan vragen of er een enkeltal kan zijn in dat schema van tweetallen vind ik nogal kinderachtig. Maak je vergelijking eerlijk en beschouw de verzameling en zet dan rechts naast het verzamelingsteken een kleine notitie +1. Want jouw onevenheidsstelling vereist dat er één wordt toegevoegd. Immers je stelt: er zijn méér oneven getallen dan even getallen. Dat is dus niet in een koppel van twee. Dus dat uitgangspunt VERPLICHT jou om de verzameling geforceerd te vergroten met + 1 buiten de koppels. Want die koppels heb je eerst erin gestopt per tweetal.

Dus, hoe gek het ook klinkt, de rij met even getallen is even groot als de verzameling met hele getallen. Beide hebben dezelfde kardinaliteit (groote) namelijk: oneindig.[/b]

Empirische wetenschap is waarneming. Maar jij bewijst mij wat ik reeds lang geleden stelde, dat empirische wetenschap niet meer bestaat. Wetenschap is méér geloof voor nodig dan voor het geloof.

Het geloof is een zeker weten, Maar jouw zeker weten is vanuit mijn perspectief gezien een geloof.

[broer konijn 0]

"Oneindig" wordt gedefinieerd als iets waar je echt niet bijkunt. Als je er niet bijkunt dan kun je OOK NIET een getal bij een ander getal noemen. Want het eerste getal kon je ook al niet nomen. Want immers je bent in het oneindige. En oneindig is iets waar we niet bij kunnen. Als je dan niet eens bij het eerste getal kunt komen waarmee je vergelijken kunt, hoe kun je dan een tweede getal vinden??

Ik heb een idee wat je hiermee bedoelt, maar zeker weten doe ik het niet, want het woord "bijkunnen" heeft geen precieze betekenis. Misschien helpt het om te zeggen: oneindig is geen (natuurlijk) getal. De verzameling natuurlijke getallen bevat oneindig veel elementen waar oneindig "niet eindig" betekent, namelijk voor elk getal in de verzameling kan je wel een groter getal vinden. De verzameling natuurlijke getallen mag dan wel oneindig veel getallen hebben, het bevat niet een getal "oneindig". Zo ook voor de verzameling van even getallen. De hoeveelheid elementen van een eindige verzameling is een natuurlijk getal. De hoeveelheid elementen van een oneindige verzameling is geen natuurlijk getal. Die hoeveelheid geven we aan met het woord "oneindig".

Het zou een misvatting zijn om te denken dat ik oneindig in een getal wil vangen. Dat ik het op verschillende wijzen formuleer is omdat het niet uitmaakt. Ik zie jullie bokkesprongen (mijn perspectief) en probeer je in een sprong onderuit te halen. Beide paren benen op de grond. Wat oneindig is heeft geen einde. Maar geen einde hebben wil niet zeggen dat in het einde dat we geen einde noemen (omdat in het oneindige in principe alle reeksen oneindig doorlopen) alle ongelijkheden gelijk zijn, Dat lijkt wel zo vanaf oneindige afstand , maar als we een uitvinding doen om die afstand te overbruggen dan zul je met me eens zijn dat de wiskunde ver weg geen andere rekenregels heeft dan de wiskunde dichtbij. Dus moet je eraf blijven zolang je oneindig niet als limiet of als getal hebt geformuleerd. Overigens: relationeel heeft oneindigheid wel degelijk een limiet. Dat is bijna altijd zo. Maar wiskundig heeft dat er nog nooit toe geleid dat de oneindigheid relationeel in de limiet vervormingen doet optreden omdat de oneindigheid de wiskunde van nabij anders behandeld dan de wiskunde in de oneindigheid. Er is dus wel degelijk een vermoeden als je spreekt over de oneindigheid: namelijk dat de relationele trucjes wiskundig een logisch resultaat moeten opleveren.

Volg je me?

Hoe kun je dat nu betrekken op oneindigheid ?????? Je trekt je vergelijking vanuit het eindige door zonder een aarzeling, terwijl je weet dat er een scheidslijn is tussen eindig en oneindig. En die scheidslijn is niet wiskundig, maar die is in je eigen beperkingen: je bent te lui om zover te tellen.

Ik nodig je bij dezen uit om het aantal gehele getallen te tellen.

Misschien ging ik te snel. Je schreef:

Bekijk bijvoorbeeld de verzameling van de even getallen {2,4,6,8,10, ...} en de verzameling van natuurlijke getallen {1,2,3,4,5, ... } waar de drie puntjes voor "etc" staat. De eerste is een echte deelverzameling van de tweede, want {1,3,5,...} staan er niet in. We kunnen een functie verzinnen die aan elk even getal een uniek natuurlijk getal toekent, neem bijvoorbeeld f(2)=2, f(4)=4, f(6)=6, etc.

Maar andersom is dat ook mogelijk: neem bijvoorbeeld g(1)=2, g(2)=4, g(3)=6, etc. Conclusie is dus dat beide verzamelingen evenveel elementen hebben. Tegenintuitief maar wel waar als je deze definitie van "het aantal elementen" hanteert. In de praktijk hanteert elke wiskundige deze definitie.

Ik struikel over je conclusie: "beide verzamelingen hebben evenveel elementen"

Hoe kun je dat nu zeggen als je weet dat de verzameling niet klaar is? jij rekent er dus klaarblijkelijk mee dat je weet wanneer oneindig stopt. Want je telt: "er zijn evenveel". En dat doe je door de goocheltruc": probeer maar eens een te noemen. Maar je kunt helemaal niets noemen in het oneindige. Dus je hebt er gewoon geen idee van of die verzamelingen even groot zijn. Maar waar je wel een bewijsbaar wiskundig idee van hebt is hoeveel je kwijtraakt op weg er naar toe. Steeds meer. Oneindig veel als je niet ergens ophoudt.

Je verzameling gaat ervan uit dat je op een bepaald punt een balans opmaakt. Immers je koppelt steeds twee getallen. Maar dat mag helemaal niet. Want oneindigheid betekent zonder stop. Dus jij kunt helemaal niet een totaal vergelijken. Onmogelijk. Immers altijd is er een naastgelegen getal. Tenzij je moe wordt en gewoon ergens maar een streep trekt. En dat is wat je doet. De koppeling doet dat met een suggestieve norm: er is altijd een tweede, ergo: dus ze zijn gelijk. Die "dus" klopt dus niet.

Als een haas en een schildpad tot in het oneindige gaan lopen in dezelfde richting, dan loopt de haas op een gegeven moment oneindig ver van het schildpad af. Mee eens?

Haas: nadert Oneindig

Schildpad: nadert oneindig alleen wat langzamer.

Afstand tussen haas en schildpad: nadert oneindig.

Pas jullie logica hier nu eens toe, alstublieft?

Maar ook haal je een grap uit. Je gooit er een tel-handicap in om elk getal met zichzelf te vergelijken (je geeft een relatie aan), zonder het uit te spreken. En die relatie gebruik je als sleutel om de deur naar de oneindigheid te openen. Maar het is gewoon tellen met een handicap.

Voor eindige verzamelingen is het geen handicap, het geeft precies een maat voor het aantal elementen. Daarom hanteren we deze methode om het aantal elementen van een verzameling te bepalen voor alle verzamelingen. Je kunt het er niet mee eens zijn, maar zo werkt men nu eenmaal in de wiskunde. Voor praktische doeleinden een erg handige definitie. Zie ook die links die ik eerder heb gegeven. Nog niet mee eens? Jammer dan. Dan is het maar zo dat de hele wereld gek is behalve jij. I rest my case.

Jij zegt het.

Stel dat we een groep mannen en vrouwen binnen laten. Nu willen we de vrouwen niet tellen, dus tellen we de mannen, en we laten ze per koppel binnen. We spreken over een oneindigheid, zelfs een uitdijende oneindigheid, omdat we zo langzaam tellen dat er nieuwe mannen en vrouwen geboren worden voor we verdertellend kunnen inhalen.

Jouw theoretisch harnas bepaalt dat er evenveel mannen en vrouwen zijn. Maar ik zeg: nee, doe normaal! Dat is alleen maar zo omdat je ze per koppel binnenlaat!!!

Ik toon mij dan bewijsbaar beduidend vrouwvriendelijker dan jij, en ik laat tegelijk 72 vrouwen binnen per één man. En voor elke 72 vrouwen één man.

Conclusie: Het klopt!! Er zijn echt 72 vrouwen voor elke man!!

Berust jij in je zaak dat je bewijsbaar hetzelfde doet,

terwijl je 71 vrouwen minder hebt??

[MysticNetherlands 298]

edit lama

[broer konijn 0]

edit lama

[The Black Mathematician 82]

Volg je me?

Eerlijk gezegd niet. Maar ik zal op de rest ingegaan.

Ik struikel over je conclusie: "beide verzamelingen hebben evenveel elementen"

Hoe kun je dat nu zeggen als je weet dat de verzameling niet klaar is? jij rekent er dus klaarblijkelijk mee dat je weet wanneer oneindig stopt. Want je telt: "er zijn evenveel". En dat doe je door de goocheltruc": probeer maar eens een te noemen. Maar je kunt helemaal niets noemen in het oneindige. Dus je hebt er gewoon geen idee van of die verzamelingen even groot zijn. Maar waar je wel een bewijsbaar wiskundig idee van hebt is hoeveel je kwijtraakt op weg er naar toe. Steeds meer. Oneindig veel als je niet ergens ophoudt.

Wat is een een verzameling die "niet klaar" is? Wat houdt dat in?

Je verzameling gaat ervan uit dat je op een bepaald punt een balans opmaakt. Immers je koppelt steeds twee getallen. Maar dat mag helemaal niet.

Nee, jij bepaalt dat dat niet mag. Het is gewoon standaard definitie in de wiskunde: verzamelingen noemen we gelijk als je voor elk element in de ene een uniek element in de andere kan aanwijzen en andersom. Je kan het niet eens zijn met die definitie, maar gegeven die definitie klopt wel de conclusie dat de even getallen en de natuurlijke getallen even veel elementen bevatten.

Als een haas en een schildpad tot in het oneindige gaan lopen in dezelfde richting, dan loopt de haas op een gegeven moment oneindig ver van het schildpad af. Mee eens?

Nee, want een gegeven moment betekent "na eindig veel tijd". En na eindig veel tijd is er door beide beesten een eindige afstand afgelegd, dus is de verschilafstand ook eindig.

Maar ik zie wel waar je naar toe wilt, jij denkt steeds dat als je twee oneindige verzamelingen hebt, waarvan de een een echte deelverzameling is van de ander, de ander dan ook altijd groter is. Ja zo kan je het definiëren, maar dat doet men in de wiskunde nu eenmaal niet. Domweg omdat jouw definitie gewoon onhandig is in de praktijk omdat verzamelingen vaak oneindig zijn maar niet noodzakelijk uit getallen bestaan met een duidelijke ordening en waarvan het ook niet altijd duidelijk is of de ene een deelverzameling is van de andere. Hoe kan je de hoeveelheid elementen van die verzamelingen dan nog met elkaar vergelijken? Dan is jouw definitie nutteloos, terwijl de definitie die Nunc en ik en de hele wiskundige wereld hanteert wel werkt.

Stel dat we een groep mannen en vrouwen binnen laten. Nu willen we de vrouwen niet tellen, dus tellen we de mannen, en we laten ze per koppel binnen. We spreken over een oneindigheid, zelfs een uitdijende oneindigheid, omdat we zo langzaam tellen dat er nieuwe mannen en vrouwen geboren worden voor we verdertellend kunnen inhalen.

Jouw theoretisch harnas bepaalt dat er evenveel mannen en vrouwen zijn. Maar ik zeg: nee, doe normaal! Dat is alleen maar zo omdat je ze per koppel binnenlaat!!!

Ik toon mij dan bewijsbaar beduidend vrouwvriendelijker dan jij, en ik laat tegelijk 72 vrouwen binnen per één man. En voor elke 72 vrouwen één man.

Conclusie: Het klopt!! Er zijn echt 72 vrouwen voor elke man!!

Berust jij in je zaak dat je bewijsbaar hetzelfde doet,

terwijl je 71 vrouwen minder hebt??

Nou, als het ook mogelijk zou zijn om één of meer mannen per elke vrouw binnen te laten zonder dat je met een tekort komt, dan zijn er evenveel mannen als vrouwen. Het is heel belangrijk dat het ook andersom moet kunnen. Het moet beide kanten op kunnen, anders werkt het niet.

[Nunc 0]

"Oneindig" wordt gedefinieerd als iets waar je echt niet bijkunt. Als je er niet bijkunt dan kun je OOK NIET een getal bij een ander getal noemen. Want het eerste getal kon je ook al niet nomen. Want immers je bent in het oneindige. En oneindig is iets waar we niet bij kunnen. Als je dan niet eens bij het eerste getal kunt komen waarmee je vergelijken kunt, hoe kun je dan een tweede getal vinden??

Ik heb een idee wat je hiermee bedoelt, maar zeker weten doe ik het niet, want het woord "bijkunnen" heeft geen precieze betekenis. Misschien helpt het om te zeggen: oneindig is geen (natuurlijk) getal. De verzameling natuurlijke getallen bevat oneindig veel elementen waar oneindig "niet eindig" betekent, namelijk voor elk getal in de verzameling kan je wel een groter getal vinden. De verzameling natuurlijke getallen mag dan wel oneindig veel getallen hebben, het bevat niet een getal "oneindig". Zo ook voor de verzameling van even getallen. De hoeveelheid elementen van een eindige verzameling is een natuurlijk getal. De hoeveelheid elementen van een oneindige verzameling is geen natuurlijk getal. Die hoeveelheid geven we aan met het woord "oneindig".

Het zou een misvatting zijn om te denken dat ik oneindig in een getal wil vangen. Dat ik het op verschillende wijzen formuleer is omdat het niet uitmaakt. Ik zie jullie bokkesprongen (mijn perspectief) en probeer je in een sprong onderuit te halen. Beide paren benen op de grond.

Aha, dus dat is wat jij denkt dat je aan het doen bent. Vanuit mijn perspectief (en dat van iedereen die logica of wiskunde beheerst) zag het er toch wat koddiger uit.

Wat oneindig is heeft geen einde. Maar geen einde hebben wil niet zeggen dat in het einde dat we geen einde noemen (omdat in het oneindige in principe alle reeksen oneindig doorlopen) alle ongelijkheden gelijk zijn, Dat lijkt wel zo vanaf oneindige afstand , maar als we een uitvinding doen om die afstand te overbruggen dan zul je met me eens zijn dat de wiskunde ver weg geen andere rekenregels heeft dan de wiskunde dichtbij. Dus moet je eraf blijven zolang je oneindig niet als limiet of als getal hebt geformuleerd. Overigens: relationeel heeft oneindigheid wel degelijk een limiet. Dat is bijna altijd zo. Maar wiskundig heeft dat er nog nooit toe geleid dat de oneindigheid relationeel in de limiet vervormingen doet optreden omdat de oneindigheid de wiskunde van nabij anders behandeld dan de wiskunde in de oneindigheid. Er is dus wel degelijk een vermoeden als je spreekt over de oneindigheid: namelijk dat de relationele trucjes wiskundig een logisch resultaat moeten opleveren.

Volg je me?

wat ik zie is een helehoop spelen met woorden maar geen logische bewijzen. Je probeert met een hoop quasi filosofie een wiskundige redenering te ondermijnen. Wellicht moet je eens beginnen met daadwerkelijk het zwakke punt in de redenering aangeven, in plaats van een hoop filosofie. Je kunt nog zoveel luchtfietsen, en dat kan nog zo leuk en aannemelijk klinken, maar als het in feite gewoon 1 + 1 = 42 is wat je hier probeert, dan hebben we er niet zoveel aan.

voorbeelden van quasi wiskunde: "relationeel heeft oneindigheid wel degelijk een limiet. Dat is bijna altijd zo. " -- o ja? Oneindigheid = zonder einde. Geen "limiet". Je verwart hier waarschijnlijk 'oneindig' met een wiskundige limiet die naar oneindig gaat.

"Maar wiskundig heeft dat er nog nooit toe geleid dat de oneindigheid relationeel in de limiet vervormingen doet optreden omdat de oneindigheid de wiskunde van nabij anders behandeld dan de wiskunde in de oneindigheid." --> wat betekent dit? Ik ken een website die volkomen willekeurig "post moderne" artikelen genereert. Die zijn vaak duidelijker leesbaar. Wat je hier schrijft, is een lading dure woorden maar zonder daadwerkelijke inhoud.

"Wat oneindig is heeft geen einde. Maar geen einde hebben wil niet zeggen dat in het einde dat we geen einde noemen (omdat in het oneindige in principe alle reeksen oneindig doorlopen) alle ongelijkheden gelijk zijn," ---> zojuist had iets relationeel oneindig wel een limiet (bijna altijd). Nu is het weer "geen einde". Maar tegelijkertijd heb je het wel weer over het "einde dat we geen einde noemen". Wat is een einde dat we geen einde noemen? iets heeft geen einde, of het heeft dat wel. Jij wilt eten van twee walletjes. Je wilt over oneindig praten als iets dat we niet kunnen bereiken, en tegelijkertiijd het toch als een soort einde zien.

"Maar geen einde hebben wil niet zeggen dat (...) alle ongelijkheden gelijk zijn," --- juist, dat is de enige opmerking die je maakte in dat stuk, die wiskundig steek houdt. Niet alle oneindigheden zijn gelijk. Maar de groep van oneindigheden die je kunt krijgen door gepiel met natuurlijke getallen, is wel een groep van oneindigheden die "gelijk" zijn, of tenminste: die evengroot zijn. Dat is wat je heel simpel kunt bewijzen, doordat je bij dat soort verzamelingen van getallen altijd paren kunt maken van unieke getallen zonder dat er aan één van beide kanten eentje alleen overblijft.

Hoe kun je dat nu betrekken op oneindigheid ?????? Je trekt je vergelijking vanuit het eindige door zonder een aarzeling, terwijl je weet dat er een scheidslijn is tussen eindig en oneindig. En die scheidslijn is niet wiskundig, maar die is in je eigen beperkingen: je bent te lui om zover te tellen.

Ik nodig je bij dezen uit om het aantal gehele getallen te tellen.

Misschien ging ik te snel. Je schreef:

Bekijk bijvoorbeeld de verzameling van de even getallen {2,4,6,8,10, ...} en de verzameling van natuurlijke getallen {1,2,3,4,5, ... } waar de drie puntjes voor "etc" staat. De eerste is een echte deelverzameling van de tweede, want {1,3,5,...} staan er niet in. We kunnen een functie verzinnen die aan elk even getal een uniek natuurlijk getal toekent, neem bijvoorbeeld f(2)=2, f(4)=4, f(6)=6, etc.

Maar andersom is dat ook mogelijk: neem bijvoorbeeld g(1)=2, g(2)=4, g(3)=6, etc. Conclusie is dus dat beide verzamelingen evenveel elementen hebben. Tegenintuitief maar wel waar als je deze definitie van "het aantal elementen" hanteert. In de praktijk hanteert elke wiskundige deze definitie.

Ik struikel over je conclusie: "beide verzamelingen hebben evenveel elementen"

Hoe kun je dat nu zeggen als je weet dat de verzameling niet klaar is? jij rekent er dus klaarblijkelijk mee dat je weet wanneer oneindig stopt. Want je telt: "er zijn evenveel".

Door al je quasi filosofie zie je het niet als er daadwerkelijk gewoon logische uitspraken worden gedaan. Waarom zou TBM geen uitspraken kunnen doen over alle elementen in een verzameling? Dat doe jij immers ook! We kunnen zeggen dat alle (ONEINDIG VEEL) elementen in de verzameling van even getallen, door 2 deelbaar is. En ook dat ze allemaal verschillend zijn. En nog veel meer logische uitspraken die allemaal over alle (oneindig veel) getallen gaan. Jij denk in termen van tijd en volgorde: eerst element 1, dan element 2, dan element 3,.... en dan ben je inderdaad nooit klaar. Dat is jouw tegenwerping. Maar tegelijkertijd doe je zelf wel uitspraken die over alle (oneindig veel) elementen tegelijk gaan. Je eist dus van TBM en mij dat we ons aan jouw regel houden (één voor één en daardoor kan je iets niet bereiken en niks zeggen over getallen die oneindig ver weg zijn) maar tegelijkertijd houd jij jezelf helemaal niet aan die zogenaamde regel. Je doet zelf om de haverklap uitspraken over alle getallen.

jij rekent er dus klaarblijkelijk mee dat je weet wanneer oneindig stopt. Want je telt: "er zijn evenveel

TBM en ik doen juist helemaal niet, wat jij denkt dat we doen! Jij bent degene die in je x/2 voorbeeld ergens een grens legt (x) en dan gaat tellen wat er onder die grens valt. Jij bent degene die van "oneindig" en "onbepaald" veel via via bij "gewoon niet weten hoeveel (maar niet oneindig)" uitkomt. Jij legt grenzen en doet alsof oneindig gewoon te bereiken is.

Het punt is juist: oneindig stopt niet: zonder einde. Daarom (en alleen daarom) kun je voor elk heel getal een even getal vinden omdat je gewoon verder weg nog verder het oneindig in kunt gaan om dat dubbele getal te vinden. En dat veder gaan kun je altijd doen want we hebben het over oneindig. Jij kunt daar met je gevoel kennelijk niet bij, want je blijft denken in termen van een einde. Je kunt je niet voorstellen dat je altijd een even getal kunt vinden, omdat je stiekem toch een grens trekt (zonder dat je het zelf door hebt, maar je woorden verraden het keer op keer en ik heb het nu al 10x in verschillende zinnen van je aangewezen). En als je wel een grens hebt, is het niet meer oneindig. En dan kun je niet meer het oneindige in vluchten om toch nog te vinden wat je zocht.

En dat doe je door de goocheltruc": probeer maar eens een te noemen. Maar je kunt helemaal niets noemen in het oneindige. Dus je hebt er gewoon geen idee van of die verzamelingen even groot zijn. Maar waar je wel een bewijsbaar wiskundig idee van hebt is hoeveel je kwijtraakt op weg er naar toe. Steeds meer. Oneindig veel als je niet ergens ophoudt.

Nee, heel veel als je ergens ophoudt. Grappig dat je hier nu weer uitspraken wilt doen over oneindig, terwijl je tegelijkertijd je betoog bouwt op het idee dat wij niet bij de oneindige zouden kunnen komen (wat we ook niet hoeven... we hoeven er niet naar toe, we spreken in ene keer iets uit over alles, ongeacht hoeveel het is). Jij wilt tellen van begin tot oneindig en dat is begrijpelijk, dat is wat mensen gewend zijn, en dat is hoe we we vrijwel altijd tellen, en daarom denken we heel gemakkelijk dat oneindig stiekem gewoon "heel groot" is en we er dus als we maar lang genoeg de tijd hebben, er toch gevoelsmatig wel zouden moeten komen.

Je verzameling gaat ervan uit dat je op een bepaald punt een balans opmaakt. Immers je koppelt steeds twee getallen. Maar dat mag helemaal niet. Want oneindigheid betekent zonder stop. Dus jij kunt helemaal niet een totaal vergelijken. Onmogelijk. Immers altijd is er een naastgelegen getal. Tenzij je moe wordt en gewoon ergens maar een streep trekt. En dat is wat je doet. De koppeling doet dat met een suggestieve norm: er is altijd een tweede, ergo: dus ze zijn gelijk. Die "dus" klopt dus niet.

Je denkt alweer procedureel, in de tijd, alsof we 1-voor-1 paren gaan maken. Maar de uitspraak is simpelweg voor alle paren tegelijk. Net zo makkelijk als je voor alle even getallen zegt (ook al zijn ze met oneindig veel) dat ze allemaal deelbaar door twee zijn, en je daarvoor niet de rij af moet: 2 is deelbaar door 2, 4 is deelbaar door 2, 6 is deelbaar door 2 ,.... Want als je zo de rij af zou moeten en als dat de enige optie was, dan zou je er niks over kunnen zeggen. Maar je doet de uitspraak in ene keer: alle even getallen zijn deelbaar door 2. Of: elk tweede even getal is deelbaar door 4. Dat soort uitspraken kun je over alles tegelijk doen, omdat er een logisch patroon is in de verzameling die je hebt. En het maken van paren is ook zo'n logisch patroon. Je kunt in één keer van alle hele getallen zeggen: doe keer 2 en dan heb je een even getal. Daarvoor hoef je het rijtje niet af. De enige reden dat ik rijtjes gaf, was om als illustratie te dienen. Maar ik ga de rijtjes niet oneindig lang af, ik doe een logische uitspraak over allemaal tegelijk. Net zoals jij dat ook - als het jou uitkomt - doet. Alleen ben je er niet consequent in, want als het voor je gevoel niet uitkomt, dan geef je als tegenwerping dat het niet zou kunnen.

[Chaim 157]

Weten jullie iets buiten de logica/wiskunde dat daadwerkelijk oneindig is? Of is het een wiskundig concept zonder daadwerkelijke tegenhangers in de realiteit?

[The Black Mathematician 82]

Albert Einstein schreef:Twee dingen zijn oneindig: het heelal en de menselijke domheid. Van het heelal weet ik het alleen nog niet zeker.

[Nunc 0]

Weten jullie iets buiten de logica/wiskunde dat daadwerkelijk oneindig is? Of is het een wiskundig concept zonder daadwerkelijke tegenhangers in de realiteit?

Het aardoppervlak is eindig qua oppervlakte maar toch onbegrensd w.b.t. de afstanden die je kunt afleggen.

[Chaim 157]

Albert Einstein schreef:Twee dingen zijn oneindig: het heelal en de menselijke domheid. Van het heelal weet ik het alleen nog niet zeker.

[Chaim 157]

Weten jullie iets buiten de logica/wiskunde dat daadwerkelijk oneindig is? Of is het een wiskundig concept zonder daadwerkelijke tegenhangers in de realiteit?

Het aardoppervlak is eindig qua oppervlakte maar toch onbegrensd w.b.t. de afstanden die je kunt afleggen.

Heb je het dan niet alsnog over een logisch concept? De begrensde realiteit van het aardoppervlak, de begrensde tijd van een menselijk leven, de zeer lange, maar desondanks eindige spanne van de menselijke beschaving op aarde (zelfs met een nieuwe aarde in het verschiet),... de afgebakende realiteit lijkt m.i. de logisch onbegrensde afstanden tot eindige proporties terug te brengen. Is deze "onbegrensdheid aan afstand die zou kunnen worden afgelegd op een bol" die je introduceert, niet evenzeer een visualisatie van een logisch concept dat in de realiteit niet voorkomt (zoals bijv. Hilbert's Oneindige Hotel)?